Question

（2013?惠州三模）如圖所示的軌道由半徑為R的1/4光滑圓弧軌道AB、豎直臺階BC、足夠長的光滑水平直軌道CD組成．小車的質量為M，緊靠臺階BC且上水平表面與B點等高．一質量為m的可視為質點的滑塊自圓弧頂端A點由靜止下滑，滑過圓弧的最低點B之后滑到小車上．已知M=4m，小車的上表面的右側固定一根輕彈簧，彈簧的自由端在Q點，小車的上表面左端點P與Q點之間是粗糙的，滑塊與PQ之間表面的動摩擦因數為μ，Q點右側表面是光滑的．求：
（1）滑塊滑到B點的瞬間對圓弧軌道的壓力大小．
（2）要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有滑離小車，則小車上PQ之間的距離應在什么范圍內？（滑塊與彈簧的相互作用始終在彈簧的彈性范圍內）

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出滑塊到達B點的速度，再根據牛頓第二定律求出軌道對滑塊的支持力，從而求出滑塊對圓弧軌道的壓力大�。�
（2）滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車必然具有共同的末速度，根據動量守恒定律求出共同的速度，根據能量守恒求出滑塊與彈簧恰好不碰撞時PQ的長度，該長度為最大長度．小車PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點右側是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設滑塊恰好回到小車的左端P點處，根據動量守恒和能量守恒求出L的最小值．從而得出L的范圍．

解答：解：（1）設滑塊滑到B點的速度大小為v，到B點時軌道對滑塊的支持力為N，由機械能守恒定律有
mgR=

1

2

mv2…①
滑塊滑到B點時，由牛頓第二定律有：
N-mg=m

v2

R

…②
聯立①②式解得：N=3mg…③
根據牛頓第三定律，滑塊在B點對軌道的壓力大小為：N′=3mg
（2）滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車必然具有共同的末速度設為u，滑塊與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，有mv=（M+m）u…④
若小車PQ之間的距離L足夠大，則滑塊可能不與彈簧接觸就已經與小車相對靜止，設滑塊恰好滑到Q點，由功能關系有μmgL=

1

2

mv2-

1

2

(M+m)u2…⑤
聯立①④⑤式解得：L=

4R

5μ

…⑥
若小車PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點右側是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設滑塊恰好回到小車的左端P點處，由功能關系有
2μmgL=

1

2

mv2-

1

2

(M+m)u2…⑦
聯立①④⑦式解得  L=

2R

5μ

…⑧
綜上所述并由⑥⑧式可知，要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有離開小車，PQ之間的距離L應滿足的范圍是：

2R

5μ

≤L＜

4R

5μ

…⑨
答：（1）滑塊滑到B點的瞬間對圓弧軌道的壓力大小3mg．
（2）PQ之間的距離L應滿足的范圍是

2R

5μ

≤L＜

4R

5μ

．

點評：解決本題的關鍵抓住兩個臨界狀態(tài)，一個是恰好與彈簧接觸，一個是反彈后恰好運動到P點，結合動量守恒定律和能量守恒定律進行求解．