Question

如圖所示，在坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B、方向垂直紙面向外的矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在第三象限存在與y軸正向成30°角的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子由靜止從電場(chǎng)的P點(diǎn)經(jīng)電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力．

（1）在U_PO較小時(shí)，粒子從磁場(chǎng)下邊界射出，求此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；

（2）增大U_PO，粒子將從磁場(chǎng)右邊界射出，求PO間的電勢(shì)差U_PO的范圍．

（3）繼續(xù)增大U_PO，粒子將從磁場(chǎng)上邊界射出，求磁場(chǎng)上邊界有粒子射出的區(qū)域的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)；帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．

專題：帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)專題．

分析：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，然后根據(jù)粒子的周期公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

（2）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理可以求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)求出粒子的軌道半徑，由牛頓第二定律列方程，解方程組可以求出OP間的電勢(shì)差；

（3）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與粒子軌道半徑，應(yīng)用幾何知識(shí)可以求出磁場(chǎng)上邊界有粒子射出的區(qū)域的長(zhǎng)度．

解答：  解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=，

若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)的圓心角為θ，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=T=，

從圖中幾何關(guān)系可知，β=π，

所以時(shí)間為：t==；

（2）由牛頓第二定律得：qvB=m，

解得：R=，

從磁場(chǎng)右邊界射出的最小速度的粒子，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最�。�

如圖所示，粒子從右邊界以最小速度qB射出時(shí)軌道2對(duì)應(yīng)的半徑最小，

由幾何關(guān)系可知：R₂=a，

由牛頓第二定律：qvB=m，

帶電粒子在電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理：qU_PO=mv²，

聯(lián)立得：U_PO1=，

如圖所示，粒子從右邊界以最大速度射出時(shí)軌道3對(duì)應(yīng)的半徑最大，

根據(jù)幾何關(guān)系可知：R₃﹣a=R₃sin30°，

解得：R₃=2a，

解得：U_PO2=，

則粒子從磁場(chǎng)右邊界射出，≤U_PO≤；

（3）由圖中的幾何關(guān)系可知：

磁場(chǎng)上邊界粒子射出的區(qū)域的長(zhǎng)度：

l_AB=R₃cos30°﹣atan30°=a；

答：（1）若粒子從磁場(chǎng)下邊界射出，子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為；

（2）若粒子從磁場(chǎng)右邊界射出，PO間的電勢(shì)差U_PO的范圍是：≤U_PO≤；

（3）若粒子從磁場(chǎng)上邊界射出，磁場(chǎng)上邊界有粒子射出的區(qū)域的長(zhǎng)度為a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式即可正確解題，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．