Question

經(jīng)過天文望遠(yuǎn)鏡的長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)．雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離．一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理．現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者間相距2L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．已知引力常量為G，則：
（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T；
（2）若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)周期為T′，為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì)．作為一種簡(jiǎn)化的模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ的暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，并假定暗物質(zhì)與星體間的相互作用同樣遵守萬(wàn)有引力定律．試根據(jù)這一模型計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T′．

Answer 1

分析：（1）雙星繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由相互之間萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)周期．
（2）假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，由暗物質(zhì)對(duì)雙星的作用與雙星之間的萬(wàn)有引力的合力提供雙星的向心力，再由牛頓第二定律求解周期T′．

解答：解：
（1）以雙星系統(tǒng)中任一星球?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得
   G

M2

(2L)2

=M

4π2

T2

L
得到 T=4πL

L GM

（2）設(shè)暗物質(zhì)的總質(zhì)量為m，由牛頓第二定律得
     G

M2

(2L)2

+G

Mm

L2

=M

4π2L

T′2

又m=ρ?

4

3

πL3
代入解得
    T′=4πL

3L G(3M+16πρL3)

答：（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T=4πL

L GM

；
    （2）根據(jù)暗物質(zhì)模型計(jì)算出該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T′=4πL

3L G(3M+16πρL3)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是雙星問題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，運(yùn)用牛頓第二定律采用隔離法進(jìn)行研究．