Question

（2013?雅安三模）在xoy平面內(nèi)，直線OP與y軸的夾角α=45°．第一、第二象限內(nèi)存在大小相等，方向分別為豎直向下和水平向右的勻強電場，電場強度E=1.0×10⁵N/C；在x軸下方有垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B=0.1T，如圖所示．現(xiàn)有一帶正電的粒子從直線OP上某點A（-L，L）處靜止釋放．設粒子的比荷

q

m

=4.0×107C/kg，粒子重力不計．求：
（1）當L=2cm時，粒子進入磁場時與x軸交點的橫坐標
（2）當L=2cm時，粒子進入磁場時速度的大小和方向
（3）如果在直線OP上各點釋放許多個上述帶電粒子（粒子間的相互作用力不計），試證明各帶電粒子進入磁場后做圓周運動的圓心點的集合為一拋物線（提示：寫出圓心點坐標x、y的函數(shù)關系）

Answer 1

分析：（1）粒子由A點靜止釋放后，先做勻加速直線運動，進入第一象限后改作類平拋運動，而后進入勻強磁場，先由動能定理求出粒子進入第一象限的速度，再由類平拋運動規(guī)律可解粒子進入磁場時與x軸交點處的橫坐標
（2）由類平拋運動規(guī)律，由速度的合成可解粒子進入磁場時速度的大小和方向．
（3）求解粒子進入磁場做勻速圓周運動的圓心的橫縱坐標，解析圓心點坐標x、y的函數(shù)關系可得圓心點的集合為二次函數(shù)，圖形為拋物線

解答：解：（1）帶電粒子在第三象限做勻加速直線運動，進入第一象限的速度為v₁，設粒子出發(fā)點坐標為（-L，L），則
    qEL=

1

2

mv₁²
得v₁=4×10⁵m/s         
粒子在第一象限做類平拋運動：y=

1

2

at²=L  
    x=v₁t       
得x=2L=0.04m             
（2）粒子做類平拋運動，則v_x=v₁=4×10⁵m/s，v_y=at=4×10⁵m/s   
設粒子進入磁場時速度方向與x正方向的夾角為Φ，
則  tgΦ=

vy

vx

=1    
解得  Φ=45°
粒子進入磁場時的速度為
 v₂=

vx2+vy2

=4

2

×10⁵ m/s   
（3）L取任意時均有：x=2L，Φ=45°            
v=

2

v1=2

qEL m

粒子在磁場中做勻速運動時，qvB=m

v2

R

代入數(shù)據(jù)得：R=

L

所以圓心的坐標為：
  x=2L-

2

2

R，y=-

2

2

R
R=

L

代入并消去L，得
  x=4y²+y                       
此方程為一拋物線方程
答：（1）當L=2cm時，粒子進入磁場時與x軸交點的橫坐標是0.04m．
（2）當L=2cm時，粒子進入磁場時速度的大小是4

2

×10⁵ m/s，方向與x正方向的夾角為45°．
（3）證明如上．

點評：帶電粒子的偏轉(zhuǎn)往往被稱為“類平拋運動”，利用平拋運動規(guī)律解決，實際上在沿電場方向考慮運動的獨立性，可再次應用動能定理求解沿偏轉(zhuǎn)方向的分速度；在解決軌跡問題時，通常整理橫縱坐標間的數(shù)學關系時，由關系式判斷圖象形狀．