Question

20．美國宇航局利用開普勒太空望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了一個新的雙星系統(tǒng)，命名為“開普勒-47”，該系統(tǒng)位于天鵝座內(nèi)，距離地球大約5000光年．這一新的系統(tǒng)有一對互相圍繞運(yùn)行的恒星，運(yùn)行周期為T，其中一顆大恒星的質(zhì)量為M，另一顆小恒星質(zhì)量只有大恒星質(zhì)量的三分之一．已知引力常量為G，則下列判斷正確的是（　�。�

• A． 兩顆恒星的轉(zhuǎn)動半徑之比為1：1
• B． 兩顆恒星的轉(zhuǎn)動半徑之比為1：2
• C． 兩顆恒星相距$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{3{π}^{2}}}$
• D． 兩顆恒星相距$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$

Answer 1

分析 地球和“開普勒-47”公轉(zhuǎn)的向心力均由萬有引力提供，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出周期和向的表達(dá)式進(jìn)行分析即可．

解答 解：AB、令兩恒星的轉(zhuǎn)動半徑分別為r₁和r₂，兩恒星間的距離為L=r₁+r₂據(jù)
$G\frac{mM}{{L}^{2}}=M{{r}_{1}ω}^{2}=m{r}_{2}{ω}^{2}$
可得$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{m}{M}$=$\frac{1}{3}$，故AB均錯誤；
CD、由AB分析知，r₂=3r₁
因為r₁+r₂=L
所以可得${r}_{1}=\frac{L}{4}$
據(jù)萬有引力提供向心力有：$G\frac{mM}{{L}^{2}}=M{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)可解得：L=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，故C錯誤，D正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．