Question

10．如圖所示，邊長為L的正方形線圈abcd與阻值為R的電阻組成閉合回路，線圈的匝數(shù)為n、總電阻為r，ab中點(diǎn)、cd中點(diǎn)的連線OO′恰好位于勻強(qiáng)磁場的左邊界線上，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．從圖示位置開始計(jì)時(shí)，線圈繞垂直于磁場的OO′軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求：
（1）回路中感應(yīng)電動(dòng)勢的瞬時(shí)表達(dá)式；
（2）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時(shí)刻，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時(shí)刻，通過R的電荷量q．

Answer 1

分析 當(dāng)線圈與磁場平行時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢最大，由公式E_m=BSω求解感應(yīng)電動(dòng)勢的最大值．圖中是中性面，線框在勻強(qiáng)磁場中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生正弦式交變電流，根據(jù)e=E_msinωt可列出感應(yīng)電動(dòng)勢的瞬時(shí)表達(dá)式，根據(jù)焦耳定律求電阻R產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)$q=\overline{I}t$求感應(yīng)電荷量．

解答 解：（1）感應(yīng)電動(dòng)勢的最大值為：
${E}_{m}^{\;}=nB\frac{{L}_{\;}^{2}}{2}ω=\frac{1}{2}nB{L}_{\;}^{2}ω$
回路中感應(yīng)電動(dòng)勢的瞬時(shí)表達(dá)式為：$e={E}_{m}^{\;}sinωt=\frac{1}{2}nB{L}_{\;}^{2}ωsinωt$
（2）感應(yīng)電動(dòng)勢的有效值為：$E=\frac{{E}_{m}^{\;}}{\sqrt{2}}=\frac{nB{L}_{\;}^{2}ω}{2\sqrt{2}}$
回路電流為：$I=\frac{E}{R+r}=\frac{nB{L}_{\;}^{2}ω}{2\sqrt{2}（R+r）}$
電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：$Q={I}_{\;}^{2}R\frac{π}{2ω}=\frac{π{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{4}ω}{16（R+r）_{\;}^{2}}$
（3）平均感應(yīng)電動(dòng)勢為：$\overline{E}=n\frac{△Φ}{△t}$
平均電流為：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
電量為：$q=\overline{I}△t$
聯(lián)立得：$q=n\frac{△Φ}{R+r}$
從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時(shí)刻，線圈轉(zhuǎn)動(dòng)90°，$△Φ=B\frac{{L}_{\;}^{2}}{2}$
所以通過R的電荷量為：$q=n\frac{B{L}_{\;}^{2}}{2（R+r）}$
答：（1）回路中感應(yīng)電動(dòng)勢的瞬時(shí)表達(dá)式$e=\frac{1}{2}nB{L}_{\;}^{2}ωsinωt$；
（2）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時(shí)刻，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱Q$\frac{π{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{4}ω}{16（R+r）_{\;}^{2}}$；
（3）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時(shí)刻，通過R的電荷量q為$n\frac{B{L}_{\;}^{2}}{2（R+r）}$

點(diǎn)評 本題要掌握正弦式交變電流瞬時(shí)值表達(dá)式，注意計(jì)時(shí)起點(diǎn)，掌握感應(yīng)電荷量的經(jīng)驗(yàn)公式$q=N\frac{△Φ}{R+r}$，知道用有效值求熱量．