Question

（2013?合肥一模）如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內，半圓軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點A．一質量為m的小球在水平地面上的C點受水平向左的恒力F由靜止開始運動，當運動到A點時撤去恒力F，小球沿豎直半圓軌道運動到軌道最高點B點，最后又落在水平地面上的D點（圖中未畫出）．已知A、C間的距離為L，重力加速度為g．
（1）若軌道半徑為R，求小球到達圓軌道B點時對軌道的壓力F_N；
（2）為使小球能運動到軌道最高點B，求軌道半徑的最大值R_m；
（3）軌道半徑R多大時，小球在水平地面上的落點D到A點的距離最大？最大距離x_m是多少？

Answer 1

分析：（1）先由動能定理求出小球到達B點時的速度大小，再由牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力，即可由牛頓第三定律得到小球對軌道的壓力．
（2）當小球對軌道的壓力恰好為零時，求出軌道半徑的最大值R_m；
（3）小球離開B點后做平拋運動，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，再根據(jù)初速度和時間求出平拋運動的水平位移表達式，與第1題中小球經(jīng)過B點的速度聯(lián)立，運用數(shù)學知識求解．

解答：解：（1）設小球到達圓軌道B點時速度為v，從C到B，由動能定理有：
FL-2mgR=

1

2

mv2-0
解得：v=

2FL-4mgR m

據(jù)牛頓第二定律有：F_N′+mg=m

v2

R

 
解得：F_N′=

2FL

R

-5mg
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球到達圓軌道B點時對軌道的壓力為：F_N=F_N′=

2FL

R

-5mg，方向豎直向上．
（2）軌道半徑越大，小球到達最高點的速度越小，當小球恰好到達最高點時，軌道對小球的作用力為零，則小球對軌道的壓力也為零，此時軌道半徑最大，則令F_N=

2FL

R

-5mg=0，解得軌道半徑的最大值R_m=

2FL

5mg

（3）設小球平拋運動的時間為t，在豎直方向上有：2R=

1

2

gt2
得：t=2

R g

水平位移為：x=vt=

2FL-4mgR m

?2

R g

=

(2FL-4mgR)(4mgR) m2g2

當2FL-4mgR=4mgR時，水平位移x最大，得：R=

FL

4mg

D到A最大距離為：x_m=4R=

FL

mg

答：
（1）若軌道半徑為R，小球到達圓軌道B點時對軌道的壓力F_N是

2FL

R

-5mg，方向豎直向上．
（2）為使小球能運動到軌道最高點B，軌道半徑的最大值R_m是

2FL

5mg

．
（3）軌道半徑R=

FL

4mg

時，小球在水平地面上的落點D到A點的距離最大，最大距離x_m是

FL

mg

．

點評：本題綜合運用了動能定理、牛頓第二定律、平拋運動，綜合性較強，關鍵理清過程，選擇適當?shù)亩ɡ砘蚨�律進行解題．