Question

16．如圖所示，半徑R=0.9m的光滑的半圓軌道固定在豎直平面內，直徑AC豎直，下端A與光滑的水平軌道相切．一個質量m=1kg的小球沿水平軌道進入豎直圓軌道，通過最高點C時對軌道的壓力為其重力的3倍．不計空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在A點的速度大小v_A；
（2）小球的落地點到A點的距離s；
（3）小球的落地前瞬間重力的瞬時功率P_G．

Answer 1

分析 （1）由向心力公式可求得最高點的速度，對AC過程由機械能守恒定律可求得A點的速度；
（2）小球離開C點后做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律可求得水平距離s；
（3）求出落地時的豎直分速度，再由功率公式即可求得重力的功率．

解答 解：（1）設小球通過最高點C時的速度為v_c，根據牛頓第二定律，有
  $mg+3mg=m\frac{v_c^2}{R}$
解得：v_c=6m/s  
設小球在A點的速度大小為v_A，以地面為參考平面，根據機械能守恒定律，有：
  $\frac{1}{2}mv_A^2=\frac{1}{2}mv_C^2+mg•2R$
解得：${v_A}=\sqrt{v_c^2+4gR}=6\sqrt{2}m/s=8.5m/s$
（2）小球離開C點后作平拋運動，根據  $2R=\frac{1}{2}g{t^2}$
它在空中運動的時間為  t=0.6s 
小球的落地點到A點的距離為  s=v_c•t=3.6m
（3）小球落地前豎直速度v_y=gt=6m/s
小球的落地前瞬間重力的瞬時功率P_G=mgv_y=6W
答：
（1）小球在A點的速度大小v_A是8.5m/s．
（2）小球的落地點到A點的距離s是3.6m；
（3）小球的落地前瞬間重力的瞬時功率P_G是6W．

點評 本題主要考查了向心力公式、機械能守恒定律及平拋運動基本公式的直接應用，對于圓周運動的動力學，關鍵分析什么力提供向心力，對于圓周光滑情形，要考慮運用機械能守恒定律解題．