Question

體育老師帶領(lǐng)學生做了一個游戲，在跑道上距離出發(fā)點32m、100m的直線上分別放有1枚硬幣，游戲規(guī)則是把這2枚硬幣全部撿起來（撿硬幣時，人的速度為0），看誰用的時間最短．已知某同學做勻加速運動和勻減速運動的加速度大小均為2m/s²，運動的最大速度不超過10m/s．求該同學撿起2枚硬幣所需要的最短時間．

Answer 1

由題意分析，該同學在運動過程中，平均速度越大時間最短．可能先加速，再減速．因為最大速度為10m/s，也可能先加速，再勻速最后減速．
設(shè)經(jīng)過時間t₁撿到第一枚硬幣，先設(shè)該同學先勻加速速再勻減速運動所需時間最小，根據(jù)由運動學公式：
加速段有位移：x加=

1

2

a

t

2加

，減速階段因為速度減到0，故減速階段的位移：x減=at加t減-

1

2

a

t

2減

因為加速和減速時間相同：t加=t減=

t1

2

，加速度大小相等均為a，故總位移：x=x_加+x_減=

1

2

a

t

2加

+

1

2

a

t

2減

=

1

2

a(

t1

2

)2×2
代入x=32m，a=2m/s2，可得同學所需最短時間：t₁=8s，
此過程中同學的最大速度：vmax=a

t1

2

=8m/s＜10m/s
所以該同學撿第一枚硬幣的過程中，先加速再減速用時最短．
（2）令再經(jīng)過t₂撿第二枚硬幣．同理有：

1

2

a(

t2

2

)2×2=100-32
代入a解得：t2=2

34

s
加速最大速度：v2=a

t2

2

=2

34

m/s＞10m/s
所以撿第二枚硬幣時，應(yīng)先加速再勻速最后減速．設(shè)加速減速的總時間為t₃，勻速的時間為t₄，因為加速的末速度為10m/s，所以據(jù)：v=a

t3

2

=10m/s得：t₃=10s
勻加速和勻減速的總位移為：x=

1

2

a(

t3

2

)2×2=

1

2

×2×(

10

2

)2×2m=50m
則勻速運動的位移為：vt₄=100-32-50
∴t₄=1.8s
則該同學運動的最短時間：t=t₁+t₃+t₄=19.8s
答：該同學撿起2枚硬幣所需要的最短時間為19.8s．