Question

19．科學(xué)工作者常常用介質(zhì)來(lái)顯示帶電粒子的徑跡．如圖所示，平面內(nèi)存在著垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=4×10^-2T．x軸上方真空，x軸下方充滿某種不導(dǎo)電的介質(zhì)并置于沿x軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，粒子在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)受到大小為f=kv粘滯阻力，y軸上P（0，0.08）點(diǎn)存在一個(gè)粒子源，能沿紙面向各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量m=1.6×10^-25kg、帶電量q=+1.6×10^-19C且進(jìn)入介質(zhì)中，觀察到該粒子在介質(zhì)中的徑跡為直線（不計(jì)重力及粒子間下滑作用，粒子在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)電量不變）．
（1）求該粒子源發(fā)射粒子的速率；
（2）求k的值，并指出進(jìn)入介質(zhì)的其他粒子最終的運(yùn)動(dòng)情況（能給出相關(guān)參量的請(qǐng)給出參量的值）；
（3）若撤去介質(zhì)中的電場(chǎng)，求進(jìn)入介質(zhì)的粒子在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度l．

Answer 1

分析 （1）由題意知道粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是：在x軸上方做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在下方做直線運(yùn)動(dòng)，列出相應(yīng)的式子就能求出粒子的速率．
（2）由平衡條件，在兩個(gè)方向的合力為零，就能求出介質(zhì)阻力常數(shù)．
（3）撤去電場(chǎng)后，粒子受阻力和洛侖茲力作用，運(yùn)動(dòng)情況非常復(fù)雜，從切向方向去考慮，用微元法來(lái)做，取一小段，在切向方向介質(zhì)阻力使粒子的速度減小，變形之后，就是速度的變化與微元時(shí)間的積就是這一微元的位移，總的累加起來(lái)就是粒子運(yùn)動(dòng)的總長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由幾何關(guān)系有  （R-0.08）²+0.16²=R²
  解得：R=0.2m
  洛侖茲力提供向心力 $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$ 
  解得：v=8×10³m/s  
（2）設(shè)粒子進(jìn)入介質(zhì)的速度方向與x軸的夾角為θ，$sinθ=\frac{0.16}{0.2}=0.8$    θ=53°
  如圖，kv=qvb tan37°  
   k=4.8×10^-21N•s/m
   其他粒子在介質(zhì)中最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)
   末速度大小都為  v=8×10³m/s，方向與x軸正方向成53°  或：介質(zhì)中其他粒子最
   終都和上述粒子的速度大小、方向一樣都做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（3）在切向應(yīng)用牛頓第二定律有：
   kv=ma_t
   kv=m $\frac{△v}{△t}$ （在這里△v是速度大小的變化
   k∑v△t=m∑△v，kl=mv-0  
   $l=\frac{mv}{k}=\frac{0.8}{3}m=0.27m$
答：（1）求該粒子源發(fā)射粒子的速率為8×10³m/s．
（2）k的值是4.8×10^-21N•s/m，進(jìn)入介質(zhì)的其他粒子最終的運(yùn)動(dòng)情況是做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（3）若撤去介質(zhì)中的電場(chǎng)，進(jìn)入介質(zhì)的粒子在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度l為0.27m．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于第三問(wèn)：撤去介質(zhì)后粒子運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度，顯然撤去介質(zhì)后粒子的運(yùn)動(dòng)情況非常復(fù)雜，但在切向方向上粒子受到的合力就是介質(zhì)的阻力，由牛頓第二定律寫(xiě)出表達(dá)式，但這里要注意的是把粒子的運(yùn)動(dòng)化為無(wú)數(shù)個(gè)微元，再把每一個(gè)微元切向位移累加就是粒子運(yùn)動(dòng)的總的路程．