Question

13．M=1000kg的汽車通過圓形拱橋時的速率恒定，拱橋的半徑為R=10m，g=10m/s²．求：
（1）汽車到達橋頂?shù)乃俣葹?m/s時對橋的壓力有多大？
（2）汽車對拱橋的壓力為車重的一半時的速率；
（3）汽車對拱橋的壓力為零時的速率．

Answer 1

分析 （1）汽車在橋頂，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出汽車對拱橋的壓力．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出汽車對拱橋的壓力為車重的一半時的速率．
（3）當汽車對拱橋的壓力為零時，靠重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出汽車的速率．

解答 解：（1）汽車通過拱橋最高點由重力和支持力提供其向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：
mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=9600N，
根據(jù)牛頓第三定律得汽車對拱橋的壓力大小是9600N，
（2）根據(jù)牛頓第二定律得：$mg-N=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
因為N=$\frac{1}{2}mg$，
解得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gr}=\sqrt{\frac{1}{2}×10×10}=5\sqrt{2}m/s$；
（3）汽車通過拱橋最高點恰好對拱橋無壓力時，則由重力提供其向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：
mg=m$\frac{{v′}^{2}}{R}$
v′=$\sqrt{gR}$=10m/s，
答：（1）汽車到達橋頂?shù)乃俣葹?m/s時對橋的壓力9600N；
（2）汽車對拱橋的壓力為車重的一半時的速率為5$\sqrt{2}$m/s；
（3）汽車對拱橋的壓力為零時的速率為10m/s．

點評 汽車過拱橋問題屬于豎直平面內(nèi)的圓周運動問題，關鍵找到向心力來源，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解．