Question

6．豎直放置的光滑圓環(huán)上套有一質(zhì)量為m的小球，小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，其中R為圓環(huán)的半徑．下列說法中正確的是（　�。�

• A． 小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大于$\frac{3}{2}$$\sqrt{2gR}$
• B． 小球經(jīng)過任意一條直徑兩端時(shí)的動能之和都相等
• C． 小球繞圓環(huán)運(yùn)動一周的時(shí)間大于$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
• D． 小球在最低點(diǎn)時(shí)對圓環(huán)的壓力等于4.5mg

Answer 1

分析 小球從最高點(diǎn)運(yùn)動到最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式即可求解；
根據(jù)機(jī)械能守恒定律判斷小球經(jīng)過任一直徑兩端位置時(shí)的動能之和是否是一定值．根據(jù)路程與時(shí)間的比值計(jì)算小球繞圓環(huán)一周的時(shí)間．小球在最低點(diǎn)時(shí)，受到的合外力提供小球做圓周運(yùn)動的向心力，設(shè)軌道對小球的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動公式即可求解．

解答 解：A、小球從最高點(diǎn)運(yùn)動到最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
 mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv²，又v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，解得：v=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2gR}$，故A錯誤；
B、小球在運(yùn)動的過程中機(jī)械能守恒，小球在最高點(diǎn)的機(jī)械能等于最低點(diǎn)的機(jī)械能，設(shè)最低點(diǎn)為零勢能平面有：E_k1+mg•2R=E_k2=定量C，
則E_K1+E_K2+mg•2R=2C，在運(yùn)動的過程中小球經(jīng)過某一位置重力勢能減小多少，則經(jīng)過關(guān)于圓心對稱的位置重力勢能就增加多少．所以小球經(jīng)過任一直徑兩端位置時(shí)的動能之和是一個恒定值．故B正確．
C、小球做的運(yùn)動不是勻速圓周運(yùn)動，在整個運(yùn)動的過程中，最高點(diǎn)的速度最小，所以運(yùn)動的時(shí)間：t＜$\frac{2πR}{{v}_{0}}$．故C錯誤．
D、小球在最低點(diǎn)時(shí)，受到的合外力提供小球做圓周運(yùn)動的向心力，設(shè)軌道對小球的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動公式
 N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；代入數(shù)據(jù)解得：N=5.5mg                              
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力：N′=N=5.5mg． 故D錯誤．
故選：B．

點(diǎn)評 本題綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律，關(guān)鍵理清向心力的來源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．