Question

某行星繞太陽運(yùn)行的橢圓軌道如圖7-1-2甲所示，F(xiàn)₁、F₂是橢圓軌道的兩個(gè)焦點(diǎn)，太陽在焦點(diǎn)F₁上，A、B兩點(diǎn)是焦點(diǎn)F₁和F₂的連線與橢圓軌道的交點(diǎn).已知A到F₁的距離為a，B到F₁的距離為b，則行星在A、B兩點(diǎn)處的速率之比是多少？

甲                                                  乙

圖7-1-2

Answer 1

解析：結(jié)合開普勒第二定律與數(shù)學(xué)幾何知識(shí)求解.

方法一：根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)的第二定律，設(shè)在時(shí)間Δt內(nèi)，行星在A、B兩點(diǎn)處與太陽連線所掃過的面積相等，如乙圖中的陰影部分所示.當(dāng)Δt很小時(shí)，則行星運(yùn)動(dòng)軌道的弧線很短，可認(rèn)為是線段，陰影部分的形狀可近似為直角三角形，所以有

得.

方法二：行星在橢圓軌道上A、B兩點(diǎn)的速度方向均與萬有引力方向垂直，故萬有引力提供向心力.設(shè)R_a、R_b為A、B兩點(diǎn)的曲率半徑.

                                                                ①

                                                                ②

由A、B兩點(diǎn)的對(duì)稱性，說明R_A=R_B.

故①÷②得