Question

圖中的是游樂(lè)場(chǎng)中的滑道模型，它位于豎直平面內(nèi),由兩個(gè)半徑都是的1/4圓周連接而成，它們的圓心、與兩圓弧的連接點(diǎn)在同一豎直線上．沿水池的水面．一小滑塊可由弧的任意點(diǎn)從靜止開始下滑． 

1．若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過(guò)程中，在兩個(gè)圓弧上滑過(guò)的弧長(zhǎng)相等，則小滑塊開始下滑時(shí)應(yīng)在圓弧上的何處？（用該處到的連線與豎直線的夾角表示）．

2．凡能在點(diǎn)脫離滑道的小滑塊，其落水點(diǎn)到的距離如何？

Answer 1

1．如圖所示，設(shè)滑塊出發(fā)點(diǎn)為，離開點(diǎn)為，按題意要求、與豎直方向的夾角相等，設(shè)其為，若離開滑道時(shí)的速度為v，則滑塊在處脫離滑道的條件是

             (1)

由機(jī)械能守恒

   (2)

(1)、(2)聯(lián)立解得

   

或            (3)

2．設(shè)滑塊剛能在O點(diǎn)離開滑道的條件是

              （4）

v₀為滑塊到達(dá)O點(diǎn)的速度，由此得

               （5）

設(shè)到達(dá)O點(diǎn)的速度為v₀的滑塊在滑道OA上的出發(fā)點(diǎn)到的連線與豎直的夾角為，由機(jī)械能守恒，有

   （6）

由（5）、（6）兩式解得

                  （7）

若滑塊到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度，則對(duì)OB滑道來(lái)說(shuō)，因O點(diǎn)可能提供的最大向心力為mg，故滑塊將沿半徑比R大的圓周的水平切線方向離開O點(diǎn)．對(duì)于的滑塊，其在OA上出發(fā)點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)的角必大于，即，由于，根據(jù)機(jī)械能守恒，到達(dá)O點(diǎn)的最大速度

                           （8）

由此可知，能從O點(diǎn)離開滑道的滑塊速度是v₀到之間所有可能的值，也就是說(shuō)，從至下滑的滑塊都將在O點(diǎn)離開滑道．以速度v₀從O點(diǎn)沿水平方向滑出滑道的滑塊，其落水點(diǎn)至的距離

       （9）

       （10）

由（5）、（9）、（10）式得

       （11）

當(dāng)滑塊以從O點(diǎn)沿水平方向滑出滑道時(shí)，其落水點(diǎn)到的距離

       （12）

由（8）、（10）、（12）式得

       （13）

因此，凡能從O點(diǎn)脫離滑道的滑塊，其落水點(diǎn)到的距離在到之間的所有可能值．即

       （14）

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