Question

如圖所示，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲藏有石油。假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為ρ；石油密度遠(yuǎn)小于ρ，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度(正常值)沿豎直方向；當(dāng)存在空腔時，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏離。重力加速度在原豎直方向(即PO方向)上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反�！�。為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲量，常利用P點附近重力加速度反�，F(xiàn)象。已知引力常數(shù)為G。
(1)設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d(遠(yuǎn)小于地球半徑)，求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常；
(2)若在水平地面上半徑為L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在δ與kδ(k>1)之間變化，且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半徑為L的范圍的中心。如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。

Answer 1

解：(1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通過填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力
mΔg ①
來計算，式中m是Q點處某質(zhì)點的質(zhì)量，M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量
M=ρV ②
而r是球形空腔中心O至Q點的距離
r= ③
Δg在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點處重力加速度改變的大小。Q點處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反常Δg′是這一改變在豎直方向上的投影
Δg′=Δg ④
聯(lián)立①②③④式得Δg′= ⑤
(2)由⑤式得，重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分別為
(Δg′)_max= ⑥
(Δg′)_min= ⑦
由題設(shè)有(Δg′)_max=kδ，(Δg′)_min=δ ⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧式得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為