Question

6．在如圖1所示的裝置中，矩形線圈匝數(shù)N=100匝，線圈電阻內(nèi)阻r=3Ω，L₁=1m，L₂=2m，電阻R=3Ω，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖2做周期性變化，板間距為d=0.5m，長為l=1.05m的平行板電容器，在t=0.05s時(shí)，有電荷量q=1.6×10^-10c，質(zhì)量m=3.2×10^-9kg的正離子從距上極板0.2m處以水平速度v_o=1m/s飛入平行板，不計(jì)重力．求：
（1）t=0.05s時(shí)，平行板間的電壓大��？
（2）當(dāng)離子飛出平行板時(shí)，電場力對(duì)離子所做的功？

Answer 1

分析 （1）由楞次定律求得電動(dòng)勢(shì)，在由串聯(lián)電路原理根據(jù)歐姆定律求得路端電壓；
（2）根據(jù)路端電壓求得電場力、離子在豎直方向上的速度隨時(shí)間的變化；再由幾何關(guān)系求得離子運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后對(duì)離子分段求取電場力做的功，累加即可．

解答 解：（1）在t=0.05s時(shí)，由于磁場變化，應(yīng)用楞次定律可得：線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
${E_1}=\frac{N△Φ}{△t}=\frac{{N△B{L_1}{L_2}}}{△t}=200V$；
由電路知識(shí)可知，對(duì)整個(gè)回路有：$I=\frac{E_1}{r+R}$
電阻兩端電壓為：U=IR=100V；
因?yàn)槠叫邪咫娙萜髋cR并聯(lián)，故其兩端電壓為100V；
（2）兩平行板間電場強(qiáng)度為：
${E_2}=\frac{U}cipu1xd=200V/m$；
離子進(jìn)入電場后水平方向做勻速，豎直方向做周期性勻變速直線運(yùn)動(dòng)（如圖）
，
所以，離子不可能打在上級(jí)板上，且其在一個(gè)周期內(nèi)的位移為0.2m；
因?yàn)殡x子水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，所以，離子若不與極板碰撞，則在平行板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
$t=\frac{l}{v_0}=1.05s$；
因?yàn)榱Ｗ舆M(jìn)入電場時(shí)距離下級(jí)板的距離為0.3m，所以，離子將打在下極板上．
粒子在t=0.15s時(shí)，位移為0.025m（正向最大），沒有接觸到上級(jí)板；
粒子在t=0.55s時(shí)，位移為-0.175m；
則當(dāng)位移為-0.3m時(shí)有：$t=0.85-0.1\sqrt{2}（s）$；
$a=\frac{{q{E_2}}}{m}=10m/{s^2}$；F=ma=3.2×10^-8N，粒子受力如圖所示
；
又有粒子在一個(gè)周期內(nèi)F為正時(shí)與F為負(fù)時(shí)的位移相同，所以，一個(gè)周期內(nèi)電場力對(duì)離子做功為零，
所以，若無下邊界，則離子在0.85s時(shí)電場力對(duì)離子所做的功為：
${W}_{0.85}=3.2×1{0}^{-8}×0.025J+0+0=8×1{0}^{-10}J$；
在$0.85-0.1\sqrt{2}（s）$到0.85s過程中，電場力對(duì)粒子所做的功為：
$W′=3.2×1{0}^{-8}×[-\frac{1}{2}×10×（0.1\sqrt{2}）^{2}]J=-3.2×1{0}^{-9}J$
所以，粒子在穿越電場的過程中，電場力對(duì)粒子所做的功為：
$W={W}_{0.85}-W'=4×1{0}^{-9}J$；
答：（1）t=0.05s時(shí)，平行板間的電壓大小為100V；
（2）當(dāng)離子飛出平行板時(shí)，電場力對(duì)離子所做的功為4×10^-9J．

點(diǎn)評(píng) 在求解粒子運(yùn)動(dòng)問題，一定要考慮電磁場的邊界對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響，根據(jù)邊界條件得到粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間，進(jìn)而求得速度、場強(qiáng)、磁感應(yīng)強(qiáng)度等問題．