Question

14．在直角坐標系第一象限與第四象限分布有垂直于坐標平面的方向相反的勻強磁場，磁感應強度的大小均為B；在第二象限分布有沿y軸負方向的勻強電場．現(xiàn)在第二象限中從P點以初速度v₀沿x軸正方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子，粒子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后恰好從坐標原點O射入磁場．
（1）已知P點的縱坐標為L，勻強電場的電場強度大小為E，試求P點的橫坐標x和粒子經(jīng)過坐標原點O時速度v的大�。�
（2）若粒子經(jīng)O點射入磁場時的速度為2v₀，試求粒子第三次經(jīng)過x軸時距O點的距離d和在磁場中運動的時間T．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律和分運動的位移公式分別列式，即可求得P點的橫坐標x．根據(jù)動能定理求粒子經(jīng)過坐標原點O時速度v的大小．
（2）由速度的分解可得到粒子進入磁場時速度方向與x軸正方向的夾角，畫出粒子在磁場中的運動軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，可求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系可解得距O點的距離d．根據(jù)軌跡對應的圓心角求磁場中運動時間．

解答 解：（1）粒子在電場中做類平拋運動，有：
 x=v₀t
 L=$\frac{1}{2}$at²；
根據(jù)牛頓第二定律，有 qE=ma
聯(lián)立解得 x=v₀$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
粒子從P點運動到坐標原點O的過程，由動能定理，有：
 qEL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEL}{m}}$．
（2）由cosθ=$\frac{{v}_{0}}{2{v}_{0}}$=0.5，θ=60°=$\frac{π}{3}$，可知，粒子進入磁場時速度方向與x軸正方向的夾角為 θ=$\frac{π}{3}$
粒子在磁場中做勻速圓周運動，有 q•2v₀B=m$\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{R}$
解得：粒子的軌跡半徑 R=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
粒子第三次經(jīng)過x軸時距O點的距離 d=4Rsinθ=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$
粒子在磁場中運動的時間 T=4•$\frac{θR}{2{v}_{0}}$=$\frac{4πm}{3qB}$
答：
（1）P點的橫坐標x為v₀$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，粒子經(jīng)過坐標原點O時速度v的大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEL}{m}}$．
（2）粒子第三次經(jīng)過x軸時距O點的距離d是$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$，粒子在磁場中運動的時間T是$\frac{4πm}{3qB}$．

點評 本題關(guān)鍵是根據(jù)粒子在場中運動的情況，做出粒子運動軌跡圖，利用幾何關(guān)系分析求解．