Question

5．如圖所示，球形導(dǎo)體空腔內(nèi)、外壁的半徑分別為R₁和R₂，帶有凈電量+q，現(xiàn)在其內(nèi)部距球心為r的地方放一個電量為+Q的點電荷，
（1）試用高斯定理證明導(dǎo)體空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷量為-Q．
（2）試求球心處的電勢．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高斯定理的公式，結(jié)合靜電平衡的特點分析即可；
（2）根據(jù)高斯定理得出各點的電場強(qiáng)度的表達(dá)式，然后積分即可求出．

解答 解：（1）證明：根據(jù)高斯定理，在任意場源所激發(fā)的電場中，對任一閉合曲面的總通量可以表示為：φ=4πk∑q_i，式中k是靜電常量，為閉合曲面所圍的所有電荷電量的代數(shù)和，由于處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為0，所以φ=0，則∑q_i=0，即：Q+q_內(nèi)=0
所以：q_內(nèi)=-Q．
證畢
（2）在球殼內(nèi)的電場屬于點電荷的電場，則場強(qiáng)：
${E}_{1}=\frac{kQ}{{r}^{2}}$
在球殼的內(nèi)部，由靜電平衡可知，E₂=0
在球殼外取：${E}_{3}=\frac{k（Q+q）}{{r}^{2}}$
取無窮遠(yuǎn)處為電勢的0點，則在球殼外：
U_r=${∫}_{R2}^{∞}{E}_{3}dr$
所以球外殼 的電勢：${φ}_{R2}=\frac{k（Q+q）}{{R}_{2}}$
由于球殼是等勢體，所以球殼的內(nèi)表面處：${φ}_{R1}={φ}_{R2}=\frac{k（Q+q）}{{R}_{2}}$
同理在球殼內(nèi)的電勢所有Q和其在內(nèi)表面上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷的和，所以：${U}_{0內(nèi)}=\frac{kQ}{r}-\frac{kQ}{{R}_{1}}$
聯(lián)立可得：${U}_{0}=\frac{kQ}{r}-\frac{kQ}{{R}_{1}}+\frac{k（Q+q）}{{R}_{2}}$
答：（1）證明見前；
（2）球心處的電勢是$\frac{kQ}{r}-\frac{kQ}{{R}_{1}}+\frac{k（Q+q）}{{R}_{2}}$．

點評 高斯定理屬于大學(xué)物理的內(nèi)容，在高中物理競賽中有涉及，但不屬于高考的內(nèi)容，在選擇時要謹(jǐn)慎．