Question

（2006?南通模擬）太陽系以外存在著許多恒星與行星組成的雙星系統(tǒng)．它們運行的原理可以理解為，質量為M的恒星和質量為m的行星（M大于m），在它們之間的萬有引力作用下有規(guī)則地運動著．如圖所示，我們可認為行星在以某一定點c為中心、半徑為a的圓周上做勻速圓周運動（圖中沒有表示出恒星）．設萬有引力常量為G，恒星和行星的大小可忽略不計．
（1）試在圖中粗略畫出恒星運動的軌道和位置；
（2）試計算恒星與點c間的距離和恒星的運行速率v．

Answer 1

分析：1、兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期．
2、雙星在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做加速度相同的勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律分別對兩星進行列式，來求解．

解答：解：（1）兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，故兩恒星運動的軌道和位置大致如圖：
（2）對行星m，F(xiàn)=mω²R_m----------①
對恒星M，F(xiàn)′=mω²R_M------------②
根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)與F′大小相等
由①②得RM=

m

M

Rm=

m

M

a
對恒星M，G

Mm

(Rm+RM)2

=M

v2

RM

代入數(shù)據(jù)解得：v=

m

m+M

GM a

答：（1）恒星運動的軌道和位置大致如上圖．
（2）恒星與點c間的距離為

m

M

a，恒星的運行速率為

m

m+M

GM a

．

點評：這道題充分體現(xiàn)了利用雙星系統(tǒng)的特點來解題的思路．雙星特點：1．繞同一中心轉動的角速度和周期相同．2．由相互作用力充當向心力，向心力相同．