Question

如圖所示，一根長L=5

2

cm的均勻細桿OB，可以繞通過其一端的水平軸O在豎直平面內(nèi)轉動，桿最初處于水平位置，桿上離O軸a=5cm處放有一小物體（視為質點），桿與其上的小物體均處于靜止狀態(tài)．若此桿突然以角速度ω勻速繞O軸順時針轉動．則為使小物體與桿不相碰，角速度ω不能小于臨界值

 

rad/s，若桿以這個臨界角速度ω₀轉動，設經(jīng)過時間t，小物體在豎直方向上與桿上某點的距離最大（設桿的轉動角度不超過90°），試寫出求解這個t的方程：

 

（用a、g、t和ω₀來表示）．

Answer 1

分析：桿以角速度ω勻速繞O軸順時針轉動，求解出物體正下方的桿上點的速度的豎直分量，會發(fā)現(xiàn)是一個定值；故桿再次接觸物體的臨界位置就是桿的端點正好在小物體的正下方；當物體速度與物體正下方的桿上點的速度的豎直分量相等時距離最大．

解答：解：桿以角速度ω勻速繞O軸順時針轉動，設桿與豎直反向夾角為θ，運動時間為t；
則物體正下方的桿上點的速度為：v=ωr=ω?

a

cosθ

；
該速度的豎直分量為：v_y=v?cosθ=ω?

a

cosθ

?cosθ=ωa；
桿再次接觸物體的臨界位置就是桿的端點正好在小物體的正下方，此時轉動角度為45°，即

π

4

，物體下降距離為h=a=5cm；
根據(jù)h=

1

2

gt′2，解得：t′=0.1s；
故桿的角速度為：ω=

π 4

0.1

=2.5πrad/s；
當物體速度與物體正下方的桿上點的速度的豎直分量相等時距離最大，此時有：
gt=v_y
v_y=ω₀

a

cosω0t

?cosω₀t=ω₀a
即gt=ω₀a；
故答案為：

5

2

π，gt=ω₀a．

點評：本題關鍵明確滑塊和平板的運動規(guī)律，知道物體正下方的桿上點的速度的豎直分量是一個定值，不難．