Question

15．如圖所示，豎直固定的軌道內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，彈簧下端固定在水平地面上，質(zhì)量為m的物體可沿軌道上，下運(yùn)動(dòng)，物體與軌道間的最大靜摩擦力和動(dòng)摩擦力大小都是f=$\frac{mg}{4}$，已知彈簧彈性勢(shì)能E_p=$\frac{1}{2}$kx²，式中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量（即彈簧伸長(zhǎng)或縮短的長(zhǎng)度），彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為g，物體在距離彈簧為H的高處從靜止開始下落，試求：
（1）物體從靜止開始下落到剛與彈簧接觸所經(jīng)歷的時(shí)間t
（2）物體到達(dá)最低位置時(shí)，求彈簧的最大形變量x
（3）物體到達(dá)最低位置后能否回彈？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）小球開始時(shí)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移公式即可求出下落的時(shí)間；
（2）小球接觸彈簧開始，合力向下，向下做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，合力為零，加速度為零，速度最大，然后合力方向向上，向下做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，速度為零，根據(jù)功能關(guān)系即可求出彈簧的最大形變量x．
（3）根據(jù)受力分析判定小球能否回彈．

解答 解：（1）小球接觸彈簧前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，ma=mg-f=mg-$\frac{mg}{4}$=0.75mg，所以：a=0.75g
則：H=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
所以：$t=\sqrt{\frac{2H}{a}}=\sqrt{\frac{8H}{3g}}$
（2）設(shè)彈簧的最大形變量x則由功能關(guān)系得：$mg（H+x）-f（H+x）=\frac{1}{2}k{x}^{2}$
即：kx²=2（mg-f）（H+x）=1.5mg（H+x）   
得：$x=\frac{1.5mg+\sqrt{2.25{m}^{2}{g}^{2}+6kmgH}}{2k}$或$x=\frac{1.5mg-\sqrt{2.25{m}^{2}{g}^{2}+6kmgH}}{2k}$＜0（舍去）
（3）滑塊若在最低點(diǎn)時(shí)彈簧的彈力要大于：mg+f=1.25mg
而彈簧的彈力：kx=$\frac{k{x}^{2}}{x}=\frac{1.5mg（H+x）}{x}＞1.5mg（H+x）＞1.25mg$ 
所以物體到達(dá)最低位置后能回彈．
答：（1）物體從靜止開始下落到剛與彈簧接觸所經(jīng)歷的時(shí)間是$\sqrt{\frac{8H}{3g}}$；
（2）物體到達(dá)最低位置時(shí)，彈簧的最大形變量是$\frac{1.5mg+\sqrt{2.25{m}^{2}{g}^{2}+6kmgH}}{2k}$．
（3）物體到達(dá)最低位置后能回彈．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道根據(jù)合力的大小和方向可知加速度的大小和方向，以及知道加速度與速度同向，速度增加，加速度與速度反向，速度減小．