Question

9．相距很近的平行板電容器AB，A、B兩板中心各開有一個小孔，如圖甲所示，靠近A板的小孔處有一電子槍，能夠持續(xù)均勻地發(fā)射出電子，電子的初速度為v₀，質(zhì)量為m，電量為e，在AB兩板之間加上圖乙所示的交變電壓，其中0＜k＜1，U₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6e}$；緊靠B板的偏轉(zhuǎn)電場的電壓也等于U₀，板長為L，兩板間距為d，偏轉(zhuǎn)電場的中軸線（虛線）過A．B兩板中心，距偏轉(zhuǎn)極板右端$\frac{1}{2}$處垂直中軸線放置很大的熒光屏PQ，不計電子的重力和它們之間的相互作用，電子在電容器AB中的運動時間忽略不計．
（1）在0-T時間內(nèi)，熒光屏上有兩個位置發(fā)光，試求這兩個發(fā)光點之間的距離（結(jié)果采用L、d表示，第2小題亦然）
（2）以偏轉(zhuǎn)電場的中軸線為對稱軸，只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場極板的間距，要使熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，極板間距應滿足什么要求？
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場及熒光屏，當k取恰當?shù)臄?shù)值時，使在0-T時間內(nèi)通過電容器B板的所有電子能在某一時刻形成均勻分布的一段電子束，求k的值．

Answer 1

分析 （1）在0-kT時間內(nèi)，根據(jù)動能定理求出電子穿出B板后的速度，在偏轉(zhuǎn)電場中，電子做類平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式得到偏轉(zhuǎn)距離．根據(jù)推論：電子射出偏轉(zhuǎn)電場后，好像從“中點射出”，得到打在熒光屏上的坐標．再運用同樣的方法求出在kT-T 時間內(nèi)，電子打在熒光屏上的坐標，即可求得這兩個發(fā)光點之間的距離．
（2）考慮到臨界條件，當極板間距為d′時，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，由上題結(jié)果求出極板間距應滿足什么要求．
（3）要求在某一時刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長度必須相等，分別得到電子束長度的表達式，根據(jù)相等關系即可求得k．

解答 解：（1）電子經(jīng)過電容器內(nèi)的電場后，速度要發(fā)生變化．在0-kT時間內(nèi)，設穿出B板后速度變?yōu)?{v}_{1}^{\;}$，由動能定理得：
$-e{U}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
將${U}_{0}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{6e}$
代入后解得：${v}_{1}^{\;}$=$\sqrt{\frac{4e{U}_{0}^{\;}}{m}}$
在偏轉(zhuǎn)電場中，電子運動時間${t}_{1}^{\;}=\frac{L}{{v}_{1}^{\;}}$，
側(cè)移量${y}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{e{U}_{0}^{2}{L}_{\;}^{2}}{2md{v}_{1}^{2}}$，
解得：${y}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
根據(jù)偏轉(zhuǎn)電場中的推論“似是中點來”其打在熒光屏上的坐標${y}_{1}^{′}=2{y}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{4d}$
在 kT～T時間內(nèi)，穿出B板后速度變?yōu)?{v}_{2}^{\;}$，同理可得，
${v}_{2}^{\;}=\frac{8e{U}_{0}^{\;}}{m}=\sqrt{2}{v}_{1}^{\;}$，${y}_{2}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{16d}$，${y}_{2}^{′}=2{y}_{2}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
熒光屏上兩個發(fā)光點之間的距離$△y={y}_{1}^{′}-{y}_{2}^{′}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
（2）考慮到臨界條件，當極板間距為d′時，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，則有$\frac{1}{2}d′=\frac{1}{2}a′{t}_{\;}^{2}$
又$a′=\frac{F}{m}=\frac{e{U}_{0}^{\;}}{md′}$，$t=\frac{L}{v}$
整理得，$d{′}_{\;}^{2}=\frac{e{U}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{m{v}_{\;}^{2}}$
對于速度${v}_{1}^{\;}$時，$8y6gmou_{1}^{′}=\sqrt{\frac{e{U}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{m{v}_{1}^{2}}}=\frac{1}{2}L$；對于速度${v}_{2}^{\;}$時，$emaie4i_{2}^{′}=\sqrt{\frac{e{U}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{m{v}_{2}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}L$
只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場極板的間距（仍以虛線為對稱軸），要使熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，極板間距應滿足：$\frac{\sqrt{2}}{4}L＜d′＜\frac{1}{2}L$
（3）要求在某一時刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長度必須相等（且剛好重疊），第一束長度：${l}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}•kT$；第二束長度：${l}_{2}^{\;}={v}_{2}^{\;}•（T-kT）$；
當${l}_{1}^{\;}={l}_{2}^{\;}$時，即${v}_{1}^{\;}•kT=2{v}_{1}^{\;}（1-k）T$
解得$k=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=2-\sqrt{2}$
答：（1）在0-T時間內(nèi)，熒光屏上有兩個位置發(fā)光，這兩個發(fā)光點之間的距離$\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
（2）以偏轉(zhuǎn)電場的中軸線為對稱軸，只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場極板的間距，要使熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，極板間距應滿足要求$\frac{\sqrt{2}}{4}L＜d′＜\frac{1}{2}L$
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場及熒光屏，當k取恰當?shù)臄?shù)值時，使在0-T時間內(nèi)通過電容器B板的所有電子能在某一時刻形成均勻分布的一段電子束，k的值為$2-\sqrt{2}$

點評 本題利用帶電粒子在勻強電場中的類平拋運動及其相關知識列方程進行解答，關鍵要分析出臨界條件和隱含的條件．