Question

17．如圖所示，粗糙水平面上放置一個(gè)質(zhì)量M=2kg、長(zhǎng)度L=5m的木板A，可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊B放在木板A的最左端，其質(zhì)量m=1kg．已知A、B間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.2，A與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.4．開(kāi)始時(shí)A、B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)B獲得水平向右的初速度v₀=8m/s的同時(shí)，對(duì)A施加水平向右的恒力，取g=10m/s²，求：
（1）為使物塊B不從木板A的右端滑出，力F的最小值為多大？
（2）若F=22N，則物塊B的最大速度為多大？

Answer 1

分析 （1）物塊B滑到A的右端時(shí)A、B速度相等，則物塊B剛好不從木板A的右端滑出，A、B的相對(duì)位移為木板長(zhǎng)L，木板A的加速度為${a}_{2}^{\;}$，由速度公式和位移公式及對(duì)物塊B和木板A運(yùn)用牛頓第二定律，可求出F的最小值；
（2）物塊B在木板A上先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為${a}_{1}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$．木板A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．對(duì)木板A，由牛頓第二定律可得木板的加速度，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間A、B速度相同，求出A、B的位移及B相對(duì)于A的位移$△{x}_{1}^{\;}$；速度相等后，木板繼續(xù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)，木板加速度大于物塊B的加速度，物塊也做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)木板A相對(duì)B的位移大小$△{x}_{2}^{\;}$等于$△{x}_{1}^{\;}$時(shí)，物塊B從木板A的左端滑出時(shí)物塊B的速度最大．

解答 解：（1）物塊B在木板A上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可知：
${μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$
物塊B滑到A的右端時(shí)A、B速度相等，則物塊B剛好不從木板A的右端滑出，A、B的相對(duì)位移為木板長(zhǎng)L，木板A的加速度為${a}_{2}^{\;}$，由速度公式和位移公式可知：
木板A的速度為：$v={a}_{2}^{\;}t$
物塊B的速度為：$v={v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}t$
木板A的位移為：${x}_{A}^{\;}=\frac{v}{2}t$
物塊B的位移為：${x}_{B}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}-v}{2}t$
A、B的相對(duì)位移為木板長(zhǎng)L：$L={x}_{B}^{\;}-{x}_{A}^{\;}$
聯(lián)立以上各式解得：${a}_{2}^{\;}=\frac{22}{5}m/{s}_{\;}^{2}$
對(duì)木板A，由牛頓第二定律可知：$F+{μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}（m+M）g=M{a}_{2}^{\;}$
解得：F=18.8N
（2）物塊B在木板A上先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為${a}_{1}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$．木板A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．對(duì)木板A，由牛頓第二定律可得：
$F+{μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}（m+M）g=M{a}_{3}^{\;}$
解得：${a}_{3}^{\;}=6m/{s}_{\;}^{2}$
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間${t}_{1}^{\;}$，A、B兩物體速度相同，大小都為${v}_{1}^{\;}$
${v}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
${v}_{1}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
聯(lián)立解得：${t}_{1}^{\;}=1s$
${v}_{1}^{\;}=6m/s$
在此過(guò)程中A、B的位移分別為${x}_{A1}^{\;}$、${x}_{B1}^{\;}$，則
${x}_{A1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$
${x}_{B1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}+{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$
A、B間相對(duì)位移為：$△{x}_{1}^{\;}={x}_{B1}^{\;}-{x}_{A1}^{\;}$
A、B速度相同后，木板A以${a}_{4}^{\;}$的加速度繼續(xù)勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知：
$F-{μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}（m+M）g=M{a}_{4}^{\;}$
解得：${a}_{4}^{\;}=4m/{s}_{\;}^{2}$
由于${a}_{4}^{\;}＞{a}_{1}^{\;}$，所以物塊B也向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，但相對(duì)木板A向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間${t}_{2}^{\;}$后，物塊B會(huì)從木板A的左端滑出，在這段時(shí)間內(nèi)：
木板A的位移為：${x}_{A2}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{4}^{\;}{t}_{2}^{2}$
物塊B的位移為：${x}_{B2}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{2}$
A、B間的相對(duì)位移$△{x}_{2}^{\;}=△{x}_{1}^{\;}$，則
$△{x}_{1}^{\;}={x}_{A2}^{\;}-{x}_{B2}^{\;}$
聯(lián)立解得：${t}_{2}^{\;}=2s$
物塊B從木板A的左端滑出時(shí)的速度為：
${v}_{3}^{\;}={v}_{1}^{\;}+{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
解得：${v}_{3}^{\;}=10m/s$
物塊B從木板A的左端滑出后落到地面上做勻減速運(yùn)動(dòng)，所以整個(gè)過(guò)程中，物塊B從木板A的左端滑出時(shí)的速度為最大速度：10m/s
答：（1）為使物塊B不從木板A的右端滑出，力F的最小值為18.8N
（2）若F=22N，則物塊B的最大速度為10m/s

點(diǎn)評(píng) 本題考查了受力分析與牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清放上木塊后木板和木塊的運(yùn)動(dòng)情況，抓住受力分析，結(jié)合牛頓第二定律結(jié)合解答．