Question

15．已知行星的下列數(shù)據(jù)：引力常為G．
（1）行星表面的重力加速度g；
（2）行星半徑R；
（3）衛(wèi)星A與行星兩球心間的距離r；
（4）行星的第一宇宙速度v₁；
（5）行星附近的衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的周期T₁；
（6）衛(wèi)星A繞行星運(yùn)動(dòng)的周期T₂；
（7）衛(wèi)星A繞行星運(yùn)動(dòng)的速度v₂；
（8）衛(wèi)星A繞行星運(yùn)動(dòng)的角速度ω．
試選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)估算行星的質(zhì)量．（要求至少寫出三種方法）

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，以及重力等于萬(wàn)有引力，分別列式，可得到行星的質(zhì)量．

解答 解：設(shè)行星的質(zhì)量為M．
第一種方法：在行星表面，由重力等于萬(wàn)有引力，得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$  
第二種方法：對(duì)于行星附近的衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得：M=$\frac{R{v}_{1}^{2}}{G}$
第三種方法：對(duì)衛(wèi)星A，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r
解得：M=$\frac{{ω}^{2}{r}^{3}}{G}$
答：行星的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$，或表示為$\frac{R{v}_{1}^{2}}{G}$和$\frac{{ω}^{2}{r}^{3}}{G}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一題多解問(wèn)題，要有發(fā)散型思維能力，關(guān)鍵要把握兩個(gè)基本思路：萬(wàn)有引力等于向心力，以及重力等于萬(wàn)有引力．