Question

6．如圖，質(zhì)量均為2m的木板A、B并排靜止在光滑水平地面上，A左端緊貼固定于水平面的半徑為R的四分之一圓弧底端，A與B、A與圓弧底端均不粘連．質(zhì)量為m的小滑塊C從圓弧頂端由靜止滑下，經(jīng)過圓弧底端后，沿A的上表面從左端水平滑上A，并在恰好滑到B的右端時與B一起勻速運動．已知重力加速度為g，C過圓弧底端時對軌道的壓力大小為1.5mg，C在A、B上滑行時受到的摩擦阻力相同，C與B一起勻速的速度是C剛滑上A時的0.3倍．求：

（1）C從圓弧頂端滑到底到的過程中克服摩擦力做的功；
（2）兩板長度L₁與L₂之比．
（3）C剛滑到B的右端時，A右端到B左端的水平距離s與B的長度L₂之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)C過圓弧底端時受力情況，由牛頓第二定律求出C到達(dá)圓弧底端時的速度，再由動能定理求C從圓弧頂端滑到底到的過程中克服摩擦力做的功；
（2）C在A上滑行時，AB一起做勻加速運動，C做勻減速運動，以三個物體組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)的動量守恒，能量也守恒，由動量守恒定律和能量守恒定律分別列式．再研究C在B上滑行的過程，由BC組成的系統(tǒng)動量守恒和能量守恒列式，即可求解兩板長度L₁與L₂之比．
（3）C在B上滑行時，對C，運用動量定理求出C從滑上B到與B共速所經(jīng)歷的時間．對B，運用動能定理列式，再由運動學(xué)公式求A右端到B左端的水平距離s與B的長度L₂之比．

解答 解：（1）設(shè)C到達(dá)圓弧底端時的速度為v₀，軌道對C支持力大小為N，下滑過程C克服摩擦力做的功為W_f．由動能定理，有：
  $mgR-{W_f}=\frac{1}{2}mv_0^2-0$  ①
C過底端時，由牛頓第二定律，有：$N-mg=\frac{mv_0^2}{R}$②
由牛頓第三定律，知：N=1.5mg ③
聯(lián)立①②③式得：${W_f}=\frac{3}{4}mgR$ ④
（2）設(shè)C剛滑過A到達(dá)B時，C的速度為v_C，A、B的速度為v，B、C共同速度為v_BC，C與A、B間的摩擦力為f．
C從滑上A到剛滑到B這個過程，C和A、B組成的系統(tǒng)動量守恒．取向右為正方向．
由動量守恒守律：mv₀=mv_C+4mv  ⑤
由功能關(guān)系：$f{L_1}=\frac{1}{2}mv_0^2-（\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}×4m{v^2}）$ ⑥
C滑上B到與B共速這個過程，對C和B組成的系統(tǒng)，
由動量守恒定律：mv_C+2mv=（m+2m）v_BC ⑦
由功能關(guān)系：$f{L_2}=\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}×2m{v^2}-\frac{1}{2}（m+2m）v_{BC}^2$  ⑧
或：C從滑上A到與B共速的全過程
由動量守恒定律：mv₀=2mv+（m+2m）v_BC ⑨
由功能關(guān)系：$f（{L_1}+{L_2}）=\frac{1}{2}mv_0^2-[\frac{1}{2}×2mv_{\;}^2+\frac{1}{2}（m+2m）v_{BC}^2]$ ⑩
⑤⑦⑨任兩式聯(lián)立并代入v_B=0.3v₀得：v=0.05v₀，v_C=0.8v₀
⑥⑧⑩任兩式聯(lián)立并代入v=0.05v₀，v_C=0.8v₀得：$\frac{L_1}{L_2}=\frac{14}{15}$  （11）
（3）（5分）設(shè)C從滑上B到與B共速所經(jīng)歷的時間為t，
對B，由動量定理：ft=2mv_B-2mv  （12）
在t時間內(nèi)，A通過的距離：s_A=vt   （13）
設(shè)B在t時間內(nèi)通過的距離為s_B，
對B應(yīng)用動能定理：$f{s_B}=\frac{1}{2}×2mv_B^2-\frac{1}{2}×2m{v^2}$  （14）
又 s=s_B-s_A （15）
聯(lián)立⑧⑩（11）（12）（13）（14）（15）（16）式并代入v_B=0.3v₀，v=0.05v₀得：$\frac{s}{L_2}=\frac{1}{3}$  （16）
答：
（1）C從圓弧頂端滑到底到的過程中克服摩擦力做的功是$\frac{3}{4}$mgR；
（2）兩板長度L₁與L₂之比14：15．
（3）C剛滑到B的右端時，A右端到B左端的水平距離s與B的長度L₂之比1：3．

點評 本題的關(guān)鍵明確滑塊和木板的運動規(guī)律，會運用動量守恒定律列式求解共同速度，知道內(nèi)能的增加量等于一對滑動摩擦力做功的絕對值，也可以用其他方法研究，如運動學(xué)公式和牛頓第二定律求解．