Question

11．如圖所示，橋面為圓弧形的立交橋AB，橫跨在水平路面上，長(zhǎng)為L(zhǎng)=160m，橋高h(yuǎn)=35m．可以認(rèn)為橋的兩端A、B與水平路面的連接處是平滑的，一輛質(zhì)量m=2.0t的小轎車，駛過半徑R=90m的一段圓弧形橋面，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）若橋面為凸形，轎車以v₁=10m/s的速度通過橋面最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面壓力是多大？
（2）若轎車通過凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面剛好沒有壓力，則速度v₂是多大？
（3）若轎車以問題（2）中的速度v₂通過凸形橋面頂點(diǎn)，求轎車到達(dá)水平路面時(shí)速度的大小及其方向與水平方向夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）轎車通過橋面最高點(diǎn)時(shí)，由橋面的支持力和重力提供向心力，由牛頓第二定律求出支持力，再由牛頓第三定律求出壓力．
（2）若轎車通過凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面剛好沒有壓力，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出v₂．
（3）若轎車以問題（2）中的速度v₂通過凸形橋面頂點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．

解答 解：（1）轎車通過橋面最高點(diǎn)時(shí)，由橋面的支持力和重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
  mg-N=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得 N=m（g-$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$）=2000×（10-$\frac{1{0}^{2}}{90}$）N≈1.78×10⁴N
由牛頓第三定律得：汽車對(duì)橋面壓力是N′=N=1.78×10⁴N
（2）若轎車通過凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面剛好沒有壓力，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
   mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
可得 v₂=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×90}$=30m/s
（3）若轎車以問題（2）中的速度v₂通過凸形橋面頂點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×35}{10}}$=$\sqrt{7}$s
轎車到達(dá)水平路面時(shí)速度的大小 v=$\sqrt{{v}_{2}^{2}+（gt）^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}+（10×\sqrt{7}）^{2}}$=40m/s
速度方向與水平方向夾角的余弦值 cosα=$\frac{{v}_{2}}{v}$=0.75
答：
（1）若橋面為凸形，轎車以v₁=10m/s的速度通過橋面最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面壓力是1.78×10⁴N．
（2）若轎車通過凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面剛好沒有壓力，則速度v₂是30m/s．
（3）若轎車以問題（2）中的速度v₂通過凸形橋面頂點(diǎn)，轎車到達(dá)水平路面時(shí)速度的大小是40m/s，其方向與水平方向夾角的余弦值是0.75．

點(diǎn)評(píng) 本題是生活中的圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要正確分析受力情況，明確汽車的向心力來源，同時(shí)要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的分解法．