Question

17．如圖所示，一端密封的均勻長直玻璃管長為l，豎直放置并開口向上，開口斷有一段長為h的汞柱將一定質(zhì)量的理想氣體封在管內(nèi)，大氣壓強(qiáng)為p₀，汞密度為ρ，若從開口端再加少量汞，保持溫度不變，汞不溢出，則管長l應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 結(jié)合液體產(chǎn)生的壓強(qiáng)的特點(diǎn)，先求出氣體的狀態(tài)參量，然后又玻意耳定律求出氣體的壓強(qiáng)，然后求出注入水銀柱的高度，結(jié)合數(shù)學(xué)知識分析管長具有的條件．

解答 解：設(shè)加了少量汞后，汞柱長為h′，以封閉氣體為研究對象
初態(tài)：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+ρgh$          ${V}_{1}^{\;}=（L-h）S$
末態(tài)：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+ρgh′$        ${V}_{2}^{\;}=（L-h′）S$
根據(jù)玻意耳定律，有：
${p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}={p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}$
即為：$（{p}_{0}^{\;}+ρgh）（L-h）S=（{p}_{0}^{\;}+ρgh′）（L-h′）S$
解得：$h′=\frac{（{p}_{0}^{\;}-ρgL）±\sqrt{（{p}_{0}^{\;}-ρgL）_{\;}^{2}-4ρg（ρghL-{p}_{0}^{\;}h-ρgρ{h}_{\;}^{2}）}}{2ρg}$
利用數(shù)學(xué)知識可得，如果${p}_{0}^{\;}＞ρgL$，則$L＞\frac{{p}_{0}^{\;}+ρgh}{ρg}$
如果${p}_{0}^{\;}＜ρgL$，則$L＜\frac{{p}_{0}^{\;}+ρgh}{ρg}$
答：管長滿足的條件是①如果${p}_{0}^{\;}＞ρgL$，則$L＞\frac{{p}_{0}^{\;}+ρgh}{ρg}$②如果${p}_{0}^{\;}＜ρgL$，則$L＜\frac{{p}_{0}^{\;}+ρgh}{ρg}$

點(diǎn)評 本題考查了求氣體壓強(qiáng)的求法與玻意耳定律，分析清楚氣體狀態(tài)變化過程，應(yīng)用玻意耳定律即可正確解題，本題體現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．