Question

5．已知地球A和某一行星B的半徑之比為R₁：R₂=1：2，平均密度之比為ρ₁：ρ₂=4：1若地球表面的重力加速度為10m/s²，地球的第一宇宙速度是8km/s，則：
（1）B行星表面的重力加速度是多少？
（2）B行星的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)重力近似等于萬(wàn)有引力，可計(jì)算星球的質(zhì)量，根據(jù)質(zhì)量等于密度乘以體積，可以計(jì)算出星球的表面重力加速度與密度和星球半徑的關(guān)系，再利用比值法可計(jì)算出星球B的重力加速度．根據(jù)第一宇宙速度定義求解B行星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）根據(jù)星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg得
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
又因?yàn)镸=ρ$•\frac{4}{3}$πR³，
所以g=$\frac{4}{3}$πGρR
已知地球A和某一行星B的半徑之比為R₁：R₂=1：2，平均密度之比為ρ₁：ρ₂=4：1
若地球表面的重力加速度為10m/s²，所以B行星表面的重力加速度g_B=$\frac{1}{2}$g=5m/s²，
（2）根據(jù)第一宇宙速度定義得
v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{4Gπ{ρR}^{2}}{3}}$
已知地球A和某一行星B的半徑之比為R₁：R₂=1：2，平均密度之比為ρ₁：ρ₂=4：1
地球的第一宇宙速度是8km/s，所以B行星的第一宇宙速度是v_B=v_地=8km/s，
答：（1）B行星表面的重力加速度是5m/s²，
（2）B行星的第一宇宙速度是8km/s．

點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力推導(dǎo)出的表達(dá)式GM=R²g，常常稱為黃金代換式，是衛(wèi)星問題經(jīng)常用到的表達(dá)式．