Question

5．如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系x≤0的區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B₀的勻強(qiáng)磁場，在x＞0的區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t按圖乙變化的勻強(qiáng)磁場，兩磁場方向均垂直紙面向里．在t=0時(shí)刻有一質(zhì)量為m、帶電量為+q帶電粒子以大小為v₀的初速度沿x軸正方向從O點(diǎn)進(jìn)入磁場，不計(jì)粒子重力．
（1）求帶電粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑和周期；
（2）試在圖甲中畫出0～$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$時(shí)間內(nèi)粒子的軌跡，并求出t=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$時(shí)刻粒子的位置坐標(biāo)及速度方向；
（3）若在t=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$時(shí)刻撤去x＞0區(qū)域的磁場，同時(shí)在該區(qū)域加一個(gè)沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，請(qǐng)通過計(jì)算判斷粒子再次進(jìn)入電場前能否回到O點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力通過向心力求解半徑，根據(jù)周期公式求解周期；
（2）分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求解坐標(biāo)；
（3）求解粒子再次進(jìn)電場前在Y軸上的側(cè)移量，根據(jù)側(cè)移量判斷粒子再次進(jìn)入電場前能否回到O點(diǎn)．

解答 解：（1）帶電粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$時(shí)間內(nèi)，由qv₀（2B₀）=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$得：r₁=$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$；
根據(jù)周期公式T₁=$\frac{2π{r}_{1}}{{v}_{0}}$可得：T₁=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$；
（2）當(dāng)B=B₀時(shí) r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$=2r₁，T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2T₁；
0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$的運(yùn)動(dòng)以r₁為半徑一個(gè)圓周，$\frac{πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$的運(yùn)動(dòng)以r₂為半徑半個(gè)圓周，$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{3πm}{q{B}_{0}}$的運(yùn)動(dòng)以r₁為半徑一個(gè)圓周，$\frac{3πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{7πm}{2q{B}_{0}}$的運(yùn)動(dòng)以r1為半徑半個(gè)圓周，$\frac{7πm}{2q{B}_{0}}$～$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$的運(yùn)動(dòng)以r2為半徑$\frac{1}{4}$圓周，$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$的運(yùn)動(dòng)以r1為半徑$\frac{1}{4}$圓周，軌跡如下圖所示．

故坐標(biāo)為（$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$），速度方向沿-X方向．
（3）如下圖，設(shè)粒子進(jìn)左側(cè)磁場時(shí)速度與+Y成θ角，則再次進(jìn)電場前在Y軸上的側(cè)移量為△Y=2rsinθ


而 r=$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$
得△Y=$\frac{mvsinθ}{q{B}_{0}}$=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$＜$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$
故不可能回到O點(diǎn)．
答：（1）帶電粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，周期為$\frac{πm}{q{B}_{0}}$；
（2）0～$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$時(shí)間內(nèi)粒子的軌跡見解析，t=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$時(shí)刻粒子的位置坐標(biāo)為（$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$），速度方向沿-X方向．
（3）若在t=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$時(shí)刻撤去x＞0區(qū)域的磁場，同時(shí)在該區(qū)域加一個(gè)沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，粒子再次進(jìn)入電場前不能回到O點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況分析，一般是確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據(jù)周期公式結(jié)合軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求時(shí)間；對(duì)于帶電粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般是按類平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)進(jìn)行解答．