Question

15．如圖所示，在xOy直角坐標(biāo)系的第三象限內(nèi)有平行于x軸的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第一象限有垂直于紙面向外的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)B．一帶正電荷量為q、質(zhì)量為m的粒子，從電場(chǎng)中A點(diǎn)沿y軸正方向以速度v₀射入電場(chǎng)，從原點(diǎn)O飛出電場(chǎng)，粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后經(jīng)過(guò)一段時(shí)間撤去磁場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)粒子從x軸上的P點(diǎn)飛出，飛出時(shí)的速度方向與x軸正方向成15°角，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{L}{2}$，-L），不計(jì)粒子的重力，已知cos15°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小．
（2）撤去磁場(chǎng)時(shí)粒子所在位置的坐標(biāo)．
（3）粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出力的在軌道半徑，根據(jù)題意求出粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度，然后求出粒子的位置坐標(biāo)．
（3）根據(jù)粒子轉(zhuǎn)過(guò)的角度與粒子的周期公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
豎直方向：L=v₀t，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x正方向間的夾角為θ，
則：tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{x}}$=$\frac{{v}_{0}}{\frac{qE}{m}×\frac{L}{{v}_{0}}}$=1，則θ=45°，

粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
由于粒子飛出時(shí)的速度方向與x軸正方向成15°角，所以撤去磁場(chǎng)時(shí)粒子的速度方向與x軸正方向成15°角，
由幾何知識(shí)可得，撤去磁場(chǎng)時(shí)粒子所在位置的坐標(biāo)：
x=rcos45°+rsin15°，解得：x=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
y=rcos15°-rsin45°，解得：y=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（3）由幾何知識(shí)可知，粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：α=60°，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間：t₁=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{60°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$，
粒子從撤去磁場(chǎng)后到到達(dá)x軸所經(jīng)過(guò)的位移為s=$\frac{y}{sin15°}$=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
此過(guò)程所用的時(shí)間為：t₂=$\frac{s}{v}$=$\frac{s}{\frac{{v}_{0}}{sin45°}}$=$\frac{\sqrt{2}m}{2qB}$．
所以粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)所用的時(shí)間t=$\frac{2πm+3\sqrt{2}m}{6qB}$．
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$．
（2）撤去磁場(chǎng)時(shí)粒子所在位置的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$\frac{m{v}_{0}}{qB}$）．
（3）粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)所用的時(shí)間t為$\frac{2πm+3\sqrt{2}m}{6qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律與粒子的周期公式即可正確解題．