Question

7．如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，x軸沿水平方向．x＞0的區(qū)域有垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁；第三象限同時(shí)存在著垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．x＞0的區(qū)域固定一與x軸成θ=30°角的絕緣細(xì)桿．一穿在細(xì)桿上的帶電小球a沿細(xì)桿勻速滑下，從N點(diǎn)恰能沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)到x軸上的Q點(diǎn)，且速度方向垂直于x軸．已知Q點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為$\frac{3}{2}$l，重力加速度為g，B₁=7E$\sqrt{\frac{1}{10πg(shù)l}}$，B₂=E$\sqrt{\frac{5π}{6gl}}$．空氣阻力忽略不計(jì)，求：
（1）帶電小球a的電性及其比荷$\frac{q}{m}$；
（2）帶電小球a與絕緣細(xì)桿的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）當(dāng)帶電小球a剛離開N點(diǎn)時(shí)，從y軸正半軸距原點(diǎn)O為h=$\frac{20πl(wèi)}{3}$的P點(diǎn)（圖中未畫出）以某一初速度平拋一個(gè)不帶電的絕緣小球b，b球剛好運(yùn)動(dòng)到x軸與向上運(yùn)動(dòng)的a球相碰，則b球的初速度為多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在第3象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力和電場(chǎng)力平衡，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)平衡條件求解電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）帶電小球在第3象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到半徑，然后結(jié)合牛頓第二定律求解速度；帶電小球a穿在細(xì)桿上勻速下滑，受重力、支持力和洛倫茲力，三力平衡，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件并結(jié)合合成法列式求解；
（3）絕緣小球b做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式求解運(yùn)動(dòng)到x軸的時(shí)間；小球a在第3象限做圓周運(yùn)動(dòng)，第2象限做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，分階段求解出其經(jīng)過x軸的時(shí)間，然后根據(jù)等時(shí)性列式．

解答 解：（1）由帶電小球在第三象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可得：帶電小球帶正電，且mg=qE，
解得：$\frac{q}{m}=\frac{g}{E}$
（2）帶電小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過程中，有：$qv{B_2}=m\frac{v^2}{R}$
由幾何關(guān)系有：$R+Rsinθ=\frac{3}{2}l$
聯(lián)解得：$v=\sqrt{\frac{5πg(shù)l}{6}}$
帶電小球在桿上勻速時(shí)，由平衡條件有：mgsinθ=μ（mgcosθ-qvB₁）
解得：$μ=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
（3）帶電小球在第三象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πR}{v}=\sqrt{\frac{24πl(wèi)}{5g}}$
帶電小球第一次在第二象限豎直上下運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：${t_0}=\frac{2v}{g}=\sqrt{\frac{10πl(wèi)}{3g}}$
絕緣小球b平拋運(yùn)動(dòng)垤x軸上的時(shí)間為：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{\frac{10πl(wèi)}{3g}}$
兩球相碰有：$t=\frac{T}{3}+n（{t_0}+\frac{T}{2}）$
聯(lián)解得：n=1
設(shè)絕緣小球b平拋的初速度為v₀，則：$\frac{7}{2}l={v_0}t$
解得：${v_0}=\sqrt{\frac{147gl}{160π}}$
答：（1）帶電小球a的電性及其比荷$\frac{q}{m}$是$\frac{g}{E}$；
（2）帶電小球a與絕緣細(xì)桿的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）b球的初速度為$\sqrt{\frac{147gl}{160π}}$；

點(diǎn)評(píng) 本題多物體、多過程、多規(guī)律，是典型的三多問題；關(guān)鍵是明確兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后分階段根據(jù)牛頓第二定律、平衡條件、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式求解，較難．