Question

6．如圖所示，兩個(gè)足夠長(zhǎng)且相互垂直的光滑絕緣斜面固定在水平面上，左側(cè)斜面的傾角為θ．cd、bf為置于其上且質(zhì)量不計(jì)的輕質(zhì)柔軟長(zhǎng)金屬導(dǎo)線，bc為與導(dǎo)線連接、電阻不計(jì)且質(zhì)量為M的導(dǎo)電硬桿．在左側(cè)斜面的導(dǎo)線上放置一電阻不計(jì)、質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒PQ、PQ與導(dǎo)線接觸良好且與導(dǎo)線間動(dòng)摩擦因素為μ．PQ下側(cè)有兩個(gè)絕緣立柱，固定與左側(cè)斜面且斜面垂直于斜面以支撐PQ不致下滑．PQ、MN、bc相互平行，整個(gè)空間存在垂直于右側(cè)斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．t=0時(shí)，一平行于斜面向下的拉力F垂直作用在硬桿bc上，使bc連同兩導(dǎo)線一起由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a．導(dǎo)體棒PQ始終處于靜止?fàn)顟B(tài)．已知輕桿柔軟長(zhǎng)金屬導(dǎo)線相距為L(zhǎng)，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的電阻為R₀，bc長(zhǎng)為L(zhǎng)，重力加速度為g，t=0時(shí)Pc、cb、bQ三段的總電阻為R，求：
（1）回路感應(yīng)電流I隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（2）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間拉力F達(dá)到最大值？拉力F的最大值為多少？
（3）若某一過(guò)程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q，導(dǎo)線克服摩擦力做功為W，則這一過(guò)程中拉力F所做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律與歐姆定律求得I的表達(dá)式．
（2）由牛二律可求得F的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)可求得F的最大值．
（3）由導(dǎo)體棒bc運(yùn)動(dòng)過(guò)程用動(dòng)能定理可求得F所做的功，所產(chǎn)生的焦耳熱等于安培力做功．

解答 解：（1）設(shè)導(dǎo)體棒bc經(jīng)時(shí)間t后的速度為v，由法拉第電磁感應(yīng)定律得
　　　　　　　　E=BLv=Blat                        ①
此時(shí)回路中的總電阻為：R_總=R+$2×\frac{1}{2}a{t^2}×{R_0}$　　　　�、�
故回路感應(yīng)電流I為：I=$\frac{BLat}{{R+{R_0}a{t^2}}}$　　　　　　　　　　�、�
（2）設(shè)t時(shí)刻柔軟導(dǎo)線中張力為T(mén)，對(duì)導(dǎo)體棒bc分析
　　　　F+Mgcosθ-BIL-2T=Ma                       ④
設(shè)導(dǎo)體棒PQ所受的摩擦力為f，對(duì)左側(cè)導(dǎo)線分析
　　　　　　　　2T=f
　　　　　　　f=μ（mgcosθ+BIL），⑤
由上述幾式得$F=M（a-gcosθ）+μmgcosθ+（1+μ）\frac{{{B^2}{L^2}at}}{{R+{R_0}a{t^2}}}$　　　�、�
式中$\frac{{{B^2}{L^2}at}}{{R+{R_0}a{t^2}}}=\frac{{{B^2}{L^2}a}}{{\frac{R}{t}+{R_0}at}}≤\frac{{{B^2}{L^2}a}}{{2\sqrt{R{R_0}a}}}$，$\frac{R}{t}={R_0}at$時(shí)，即t=$\sqrt{\frac{R}{{{R_0}a}}}$　�、�
　　${F_{max}}=M（a-gcosθ）+μmgcosθ+（1+μ）\frac{{{B^2}{L^2}}}{2}\sqrt{\frac{a}{{R{R_0}}}}$　　　　　�、�
（3）設(shè)此過(guò)程中導(dǎo)體棒bc運(yùn)動(dòng)距離為s，由動(dòng)能定理得
　　　　　　　　　　　　W_合=W_F+Mgscosθ-W-Q=△E_k=Mas，⑨
左側(cè)導(dǎo)線所受的摩擦力為 　　 F_f=μ（mgcosθ+F_安），
導(dǎo)線克服摩擦力做功為        W=μmgscosθ+μW_安=μmgscosθ+μQ，（10）
　　得                  W_F=$W+Q+M（a-gcosθ）\frac{W-μQ}{μmgcosθ}$（11）
答：（1）回路感應(yīng)電流I隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為I=$\frac{BLat}{{R+{R_0}a{t^2}}}$　　　　　
（2）經(jīng)過(guò)時(shí)間為$\sqrt{\frac{R}{{{R_0}a}}}$　拉力F達(dá)到最大值，拉力F的最大值為${F_{max}}=M（a-gcosθ）+μmgcosθ+（1+μ）\frac{{{B^2}{L^2}}}{2}\sqrt{\frac{a}{{R{R_0}}}}$．
（3）這一過(guò)程中拉力F所做的功為$W+Q+M（a-gcosθ）\frac{W-μQ}{μmgcosθ}$

點(diǎn)評(píng) 考查、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律，同時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律并結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)分析．過(guò)程較復(fù)雜．