Question

15．水平放置的平行金屬板M、N之間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面的交變磁場(chǎng)（如圖所示a，垂直紙面向里為正），磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=100T．已知兩板間距離d=0.3m，電場(chǎng)強(qiáng)度E=50V/m，M板上有一小孔P，在P正上方h=5cm處的O點(diǎn)，一帶電油滴自由下落，穿過小孔后進(jìn)入兩板間，最后落在N板上的Q點(diǎn)如圖b所示．如果油滴的質(zhì)量m=10^-4kg，帶電量q=2×10^-5C，

（1）若油滴在t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間，最后恰好垂直向下落在N板上的Q點(diǎn)．試求交變磁場(chǎng)的變化周期T．
（2）Q、O兩點(diǎn)的水平距離．（重力加速度g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）油滴在OP間做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度位移公式求出P點(diǎn)的速度．抓住粒子的偏轉(zhuǎn)方向得出粒子的電性，通過粒子受到的重力和電場(chǎng)力平衡，知粒子靠洛倫茲力提供向心力，根據(jù)半徑公式求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，從而確定出粒子需經(jīng)過6個(gè)四分之一圓弧從而到達(dá)Q點(diǎn)，求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，從而得出交變電場(chǎng)的周期．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合半徑的大小求出Q、O兩點(diǎn)的水平距離

解答 解：（1）油滴自由下落，進(jìn)入兩板間電、磁場(chǎng)時(shí)的初速為$v=\sqrt{2gh}$…①
解得：v=$\sqrt{2×10×5×{{10}^{-2}}}m/s=1m/s$
油滴進(jìn)入電、磁場(chǎng)后，受力情況如圖所示，
重力 mg=10^-4×10N=10^-3N…②
電場(chǎng)力 ${F_電}=qE=2×{10^{-5}}×50N={10^{-3}}N=mg$…③
帶電油滴進(jìn)入兩極板間，受電場(chǎng)力與重力平衡，在磁場(chǎng)力的作用下，它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)圓周半徑為R，若恰好垂直落在N板上的Q點(diǎn)，則${F_磁}=qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$…④
${T_B}=\frac{2πR}{v}$…⑤
解得  $R=\frac{mv}{qB}=\frac{{{{10}^{-4}}×1}}{{2×{{10}^{-5}}×100}}m=0.05（m）$
${T_B}=\frac{2πm}{qB}=\frac{{2π×{{10}^{-4}}}}{{2×{{10}^{-5}}×100}}=0.1π（s）$
又已知d=0.3m，如圖所示，由幾何關(guān)系得d=6R
所以交變磁場(chǎng)周期 $T=\frac{1}{2}{T_B}=0.05π（s）$
（2）設(shè)O、Q兩點(diǎn)的水平距離為x，如圖所示，由幾何關(guān)系得x=6R=0.3m
答：（1）交變磁場(chǎng)的變化周期T為0.05πs．（2）Q、O兩點(diǎn)的水平距離為0.3m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，知道粒子受到重力和電場(chǎng)力平衡，靠洛倫茲力提供向心力，結(jié)合半徑公式和周期公式，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何關(guān)系進(jìn)行求解，難度中等．