Question

如圖所示，在固定的粗糙斜面上依次放有兩塊質量相等m₁=m₂=10kg的平板A、B，長度均為 L=1.6m，斜面傾角很小為θ（sinθ=0.1，cosθ≈1），一個質量為m₃=20kg 的小滑塊C以v₀=5m/s的初速度滑上平板A的上表面．A與斜面之間的動摩擦因素為μ₁=0.2，B與斜面之間的動摩擦因素μ₂=0.1，滑塊C與平板A、B之間的動摩擦因數相同，設為μ₃．設最大靜摩擦力與相對應的滑動摩擦力大小相等，g=10m/s．
（1）若小滑塊C滑上平板A時，平板均不動，而滑上平板B時，平板B開始滑動，求μ₃應滿足的條件；
（2）若μ₃=0.4，求滑塊C從開始滑上平板A到最終相對斜面靜止時運動的時間和平板B沿斜面上滑的最大距離．

Answer 1

（1）要使小滑塊滑上平板A時，平板不動，則：
μ₃m₃gcosθ≤μ₁（m₁+m₃）gcosθ+μ₂m₂gcosθ+（m₁+m₂）gsinθ
要使小滑塊滑上平板B時，平板B開始滑動，則：
μ₃m₃gcosθ≥μ₂（m₂+m₃）gcosθ+m₂gsinθ
解得：0.2≤μ≤0.45
即μ₃應滿足的條件為0.2≤μ≤0.45．
（2）設C在A上滑動時，C的加速度為a_c，經t₁時間滑出A時的速度為v₁，則
m₃gsinθ+μ₃m₃gcosθ=m₃a_c
解得
a_c=5m/s²
根據速度位移公式，有
v₀²-v₁²=2a_cL
解得
v₁=3m/s
根據速度時間公式，有
v₀-v₁=a_ct₁
解得
t1=

2

5

s
C滑到B上以后，B開始滑動，加速度為a_B，假設經t₂時間后B、C達到共同速度v₂時C還沒有從B上滑出
對B：μ₃m₃gcosθ-μ₂（m₂+m₃）cosθ-m₂gsinθ=m₂a_B
解得
a_B=4m/s²
根據速度位移公式，有
v₂=a_Bt₂
對C：v₂=v₁-a_ct₂
解得：v2=

4

3

m/s
t2=

1

3

s
C相對于B滑動的距離△x=

v1+v2

2

t2-

v2

2

t2
△x=0.5m＜L假設成立
之后C和B一起沿斜面減速，加速度為a，經t₃速度變?yōu)榱?br>對BC整體：（m₁+m₃）gsinθ+μ₂（m₁+m₃）gcosθ=（m₁+m₃）a
解得
a=2m/s²
根據速度位移公式，有
t3=

v2

a

故t3=

2

3

s
由于（m₁+m₃）gsinθ=μ₂（m₁+m₃）gcosθ，故BC最終靜止在斜面上；
故C從開始滑上平板A最終相對斜面靜止時運動的時間：t=t₁+t₂+t₃t=1.4s，平板B沿斜面上滑的最大距離：xB=

v2

2

(t2+t3)x_B=0.67m．