Question

3．發(fā)射同步衛(wèi)星需要有高超的技術(shù)，一般先用多級(jí)火箭，將衛(wèi)星送入近地圓形軌道，此軌道稱為初始軌道；當(dāng)衛(wèi)星飛臨赤道上空時(shí)，控制火箭再次點(diǎn)火，短時(shí)間加速，衛(wèi)星就會(huì)按橢圓軌道（也稱轉(zhuǎn)移軌道）運(yùn)動(dòng)；當(dāng)衛(wèi)星飛臨遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，再次點(diǎn)火加速，衛(wèi)星就最后進(jìn)入同步軌道．如圖所示為某次同步衛(wèi)星發(fā)射的軌道示意圖，橢圓軌道的近地點(diǎn)為A，遠(yuǎn)地點(diǎn)為B．假設(shè)A距地面高度為h，衛(wèi)星在同步軌道上飛行n圈所用的時(shí)間為t，地球表面的重力加速度為g，地球半徑R，試求：
（1）衛(wèi)星在初始軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，經(jīng)過A點(diǎn)的加速度a_A的大�。�
（2）衛(wèi)星在同步軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)的速度v的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，以及牛頓第二定律求出經(jīng)過A點(diǎn)的加速度大�。�
（2）根據(jù)周期的大小，根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合周期與線速度的關(guān)系求出衛(wèi)星在同步軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)的速度v的大�。�

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，
衛(wèi)星在A點(diǎn)：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m{a}_{A}$，
對(duì)地面上質(zhì)量為m₀的物體：$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$，
解得${a}_{A}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$．
（2）衛(wèi)星同步軌道上飛行的周期：T=$\frac{t}{n}$，
設(shè)同步軌道半徑為r，則有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
又v=$\frac{2πr}{T}$，
由以上各式解得v=$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．
答：（1）經(jīng)過A點(diǎn)的加速度a_A的大小為$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$；
（2）衛(wèi)星在同步軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)的速度v的大小為$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力、萬有引力提供向心力這兩個(gè)重要理論，并能靈活運(yùn)用．