Question

18．小明站在高出水平地面h=0.2m的臺(tái)階上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有可看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=0.6Kg的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行的水平距離S=0.8m后落地，如圖所示．已知握繩的手離臺(tái)面高度與繩長(zhǎng)相等為L(zhǎng)=0.6m，重力加速度g=10m/s²，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力．
求：（1）繩斷時(shí)球的速度大�。�
（2）繩能承受的最大拉力；
（3）保持手的位置不動(dòng)，只縮短繩長(zhǎng)（繩承受的最大拉力不變）使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，新繩長(zhǎng)應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）繩斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出時(shí)間，根據(jù)水平位移和時(shí)間求出繩斷時(shí)球的速度大�。�
（2）根據(jù)在最低點(diǎn)，合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求出最大拉力．
（3）根據(jù)最大拉力，通過牛頓第二定律求出繩斷后的速度與繩長(zhǎng)的關(guān)系，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求出平拋運(yùn)動(dòng)水平位移的表達(dá)式，通過數(shù)學(xué)方法二次函數(shù)求極值，求出l為多少時(shí)，x最大．

解答 解：（1）設(shè)繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，
豎直方向上：$h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，解得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2×0.2}{10}}=0.2s$
水平方向上：s=v₁t₁
解得：${v}_{1}=\frac{0.8}{0.2}=4m/s$．
（2）設(shè)繩能承受的最大拉力為F_m．，在最低點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
解得F_m=22N．
（3）設(shè)繩長(zhǎng)為l，繩斷時(shí)球的速度為v₂．
有：${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l}$，
繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為L(zhǎng)+h-l，水平位移為x，時(shí)間為t₂．
有：$L+h-l=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，x=v₂t₂．
得$x=\sqrt{\frac{8l（1.6-2l）}{3}}$
當(dāng)l=0.4m時(shí)，x有極大值${x}_{max}=\sqrt{0.85}m$=0.92m．
答：（1）繩斷時(shí)球的速度大小為4m/s．
（2）繩能承受的最大拉力為22N．
（3）要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)為0.4m，最大水平距離0.92m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源．