Question

7．如圖所示，在光滑水平面上豎直固定一半徑為R的光滑半圓槽軌道BC，其底端恰好與水平面相切，一傾角為θ的擋板DE位于半圓槽左側(cè)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)以的初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．
（1）小球通過B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓槽的壓力大�。�
（2）若小球未能通過最高點(diǎn)C，請(qǐng)定性分析小球離開半圓槽軌道后做什么運(yùn)動(dòng)？
（3）若小球恰能通過最高點(diǎn)C后，有以下兩種運(yùn)動(dòng)情境：①小球垂直打到擋板上；②小球到達(dá)擋板的位移最小，請(qǐng)分別求出兩種情境下小球從C點(diǎn)到擋板的飛行時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）小球過B點(diǎn)時(shí)，支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出；
（2）若小球未能通過最高點(diǎn)C，即可圓軌道后做斜上拋運(yùn)動(dòng)或勻速直線運(yùn)動(dòng)；
（3）由牛頓第二定律求出小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度，然后由平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，按照兩種情況依次解答即可．

解答 解：（1）小球過B點(diǎn)時(shí)，支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：F_N=$mg+\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）小球離開圓軌道時(shí)，有兩種可能的情況：
a、小球從半圓軌道的上半部分離開，此時(shí)小球的速度方向?yàn)樾毕蛏希�所以小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)；
b、小球的速度比較小，不能到達(dá)與O點(diǎn)等高的點(diǎn)，則將沿圓軌道返回，返回后將沿BA的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)；
（3）小球恰好過C點(diǎn)，則過C點(diǎn)時(shí)，重力恰好提供向心力，則：mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：v=$\sqrt{gR}$
小球經(jīng)過C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)打到斜面上時(shí)豎直方向的分速度為v_y，豎直方向的位移為y，則：
①小球垂直打到斜面上，則到達(dá)斜面時(shí)，速度的方向與水平方向之間的夾角為90°-θ，則：tanθ=$\frac{v}{{v}_{y}}=\frac{\sqrt{gR}}{g{t}_{1}}$
所以：${t}_{1}=\frac{\sqrt{gR}}{gtanθ}$
②若小球到達(dá)斜面的位移最小，則落地與C點(diǎn)的連線與斜面垂直，所以有：
$tanθ=\frac{x}{y}$
其中：x=vt₂；$y=\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
聯(lián)立得：t₂=$\frac{2\sqrt{gR}}{gtanθ}$
答：（1）小球通過B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓槽的壓力大小是$mg+\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）若小球未能通過最高點(diǎn)C，小球從半圓軌道的上半部分離開，小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)；小球的速度比較小，不能到達(dá)與O點(diǎn)等高的點(diǎn)，則將沿圓軌道返回后沿BA的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)；
（3）①小球垂直打到擋板上時(shí)小球從C點(diǎn)到擋板的飛行時(shí)間是$\frac{\sqrt{gR}}{gtanθ}$；②小球到達(dá)擋板的位移最小時(shí)小球從C點(diǎn)到擋板的飛行時(shí)間是$\frac{2\sqrt{gR}}{gtanθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是有限制條件的平拋運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要挖掘出隱含的條件，如分速度關(guān)系，分位移關(guān)系，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解答，注意垂直打在斜軌道上C點(diǎn)即明確了小球末速度的方向．