Question

18．如圖所示，虛線OM與y軸的夾角為θ=60°，在此角范圍內有垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．一質量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子從y軸左側平行于x軸射入磁場，入射點為P．粒子在磁場中運動的軌道半徑為R．粒子離開磁場后的運動軌跡與x軸交于Q點（圖中未畫出），且$\overline{OQ}$=R．不計粒子重力．求：
（1）粒子在磁場中運動的周期；
（2）P點到O點的距離；
（3）粒子在磁場中運動的時間．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出軌道半徑，然后求出周期．
（2）作出粒子運動軌跡，根據題意應用幾何知識求出距離．
（3）根據粒子轉過的圓心角與粒子做圓周運動的周期，根據t=$\frac{θ}{2π}$T求出粒子的運動時間．

解答 解：（1）粒子進入磁場后做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
周期：T=$\frac{2πR}{v}$，
解得：T=$\frac{2πm}{qB}$；
（2）設運動軌跡交虛線OM于A點，圓心為y軸上的C點，AC與y軸的夾角為α；
粒子從A點射出后，運動軌跡交x軸于Q點，設AQ與x軸的夾角為β．過A點作x、y軸的垂線，垂足分別為E、F．
AF=Rsinα，OF=$\frac{AF}{tan60°}$，EQ=$\frac{OF}{tanβ}$，OQ=AF+EQ，α=β，聯(lián)立得到：sinα+$\frac{1}{\sqrt{3}}$cosα=1，
解得：α=30°或：α=90°；
設P點到O點的距離為h，有：AF=Rsinα，h=R-OC，OC=CF-OF=Rcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，
聯(lián)立得到：h=R-$\frac{2}{\sqrt{3}}$Rcos（α+30°），
解得：h=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R  （α=30°），或：h=（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R  （α=90°）；
（3）當α=30°時，粒子在磁場中運動的時間為：t=$\frac{T}{12}$=$\frac{πm}{6qB}$，
當α=90°時，粒子在磁場中運動的時間為：t=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$；
答：（1）粒子在磁場中運動的周期為$\frac{2πm}{qB}$；
（2）P點到O點的距離為（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R 或：（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R；
（3）粒子在磁場中運動的時間為$\frac{πm}{6qB}$或$\frac{πm}{2qB}$．

點評 本題考查了求粒子做圓周運到達周期、運動時間等問題，難度較大；根據幾何關系求出帶電粒子在磁場中的偏轉角有兩個，要注意分別進行求解．