Question

如圖所示，傾角θ=37°的粗糙傳送帶與光滑水平面通過半徑可忽略的光滑小圓弧平滑連接，傳送帶始終以v=3m/s的速率順時針勻速轉動，A、B、C滑塊的質量為 m_A=1kg，m_B=2kg，m_C=3kg，（各滑塊均視為質點）．A、B間夾著質量可忽略的火藥．k為處于原長的輕質彈簧，兩端分別與B和C連接．現(xiàn)點燃火藥（此時間極短且不會影響各物體的質量和各表面的光滑程度），滑塊A以6m/s水平向左沖出，接著沿傳送帶向上前進，已知滑塊A與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=0.75，傳送帶與水平面足夠長，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）滑塊A沿傳送帶向上能滑的最大距離？
（2）滑塊B通過彈簧與C相互作用的過程中，彈簧又到原長時B、C的速度？
（3）滑塊A追上滑塊B時能粘住，試定量分析在A與B相遇的各種可能情況下，A、B、C及彈簧組成系統(tǒng)的機械能范圍？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出滑塊A沿傳送帶向上能滑的最大距離；
（2）炸藥爆炸過程，對A和B系統(tǒng)動量守恒，據此定律列式可求出B獲得的速度．此后B與C通過彈簧發(fā)生作用，兩者組成的系統(tǒng)動量守恒，包括彈簧在內系統(tǒng)的機械能守恒，根據兩大守恒定律列式求解．
（3）A返回水平面的速度等于傳送帶的速度．當B向左的速度最大時，A粘住B時系統(tǒng)的機械能損失最大；A粘住B時，B向右的速度最大時，A粘住B時系統(tǒng)機械能損失最�。�根據動量守恒和機械能守恒列式求解．

解答：解：（1）滑塊A沿傳送帶向上的運動，根據動能定理得：
  -(mAgsinθ+μmAgcosθ)x1=0-

1

2

mA

v

2 A

代入數(shù)據解得：x₁=1.5m     
（2）炸藥爆炸過程，對A和B系統(tǒng)，設B獲得的速度為v_B，有：
-m_Av_A+m_Bv_B=0
解得：v_B=3m/s                
B與C相互作用，根據動量守恒得：mBvB=mB

v

′ B

+mC

v

′ C

根據機械能守恒定律得：
 

1

2

mB

v

2 B

=

1

2

m

v

′2 B

+

1

2

m

v

′2 C

解得：

v

′ B

=

mB-mC

mB+mC

vB=-0.6m/s，

v

′ C

=

2mB

mB+mC

vB=2.4m/s      
（3）A返回水平面的速度等于傳送帶的速度，

v

′ A

=3m/s
追上滑塊B前，滑塊B的速度在-0.6m/s與3m/s間變化
A粘住B時，

v

′ B

=-0.6m/s，機械能損失最大，
則 mA

v

′ A

+mB

v

′ B

=(mA+mB)

v

′

，
得：v′=0.6m/s
此時

v

′ C

=2.4m/s
A、B、C及彈簧系統(tǒng)機械能的最小值：E_min=

1

2

m_Cv

′2 C

+

1

2

（m_A+m_B）v′²J   
A粘住B時，

v

′ B

=3m/s，機械能損失最小，△E_損=0
A、B、C及彈簧系統(tǒng)機械能的最大值E_max=

1

2

mAv

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

=13.5J
A、B、C及彈簧系統(tǒng)機械能范圍：9.18J≤E≤13.5J
答：
（1）滑塊A沿傳送帶向上能滑的最大距離是1.5m．
（2）滑塊B通過彈簧與C相互作用的過程中，彈簧又到原長時B、C的速度分別為0.6m/s和2.4m/s．
（3）滑塊A追上滑塊B時能粘住，試定量分析在A與B相遇的各種可能情況下，A、B、C及彈簧組成系統(tǒng)的機械能范圍為9.18J≤E≤13.5J．

點評：本題是一道反復考查動量守恒、功能關系和動能定理的題目，關鍵是正確分析每個分過程列出方程，特別是B與C的作用過程．是一道好題．