Question

如圖所示在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ、II象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E，第 III、Ⅳ象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上距原點(diǎn)O為d的P點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入第Ⅰ象限的電場，經(jīng)x軸射入磁場，已知E=

m v 2 0

2qd

，B=

mv0

2qd

．不計粒子重力，求：
（1）粒子在磁場中運(yùn)動的半徑，畫出帶電粒子運(yùn)動的軌跡．
（2）從粒子射入電場開始，求粒子經(jīng)過x軸時間的可能值．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子射入電場中作類平拋運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合求出粒子進(jìn)入磁場時速度大小和方向．帶電粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力作勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，根據(jù)圓的對稱性畫出軌跡．
（2）粒子在第Ⅰ象限的電場中運(yùn)動的時間t1=

2d

v0

，在磁場中運(yùn)動的周期由T=

2πm

qB

，根據(jù)軌跡的圓心角得到帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時間，帶電粒子在第第 II象限的電場中運(yùn)動的時間t3=

2d

v0

，根據(jù)周期性得到故帶電粒子經(jīng)過x軸正半軸和負(fù)半軸時間的可能值．

解答：解：（1）帶電粒子射入電場中作類平拋運(yùn)動，由牛頓第二定律，有  a=

qE

m

=

v 2 0

2d

…①
由類平拋運(yùn)動的特點(diǎn)，豎直方向上作初速度為零的勻加速運(yùn)動，有 
  d=

1

2

at2…②
  v_y=at…③
水平方向上作勻速直線運(yùn)動，有  x=v₀t…④
設(shè)合速度與水平方向的夾角為θ，由合速度與分速度的關(guān)系得  tanθ=

vy

v0

…⑤
   v=

v 2 x + v 2 y

…⑥
以上六式聯(lián)立可得：x=2d，v=

2

v0，θ=

π

4

．
帶電粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力qvB=

mv2

r

…⑦
代入可得：r=2

2

d…⑧
由幾何關(guān)系可確定出帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心在y軸下方2d處，根據(jù)圓的對稱性，粒子出磁場時的速度和距離與入磁場時對稱，帶電粒子進(jìn)入第 II象限作斜拋運(yùn)動，運(yùn)動情況跟在第一像限對稱，故可畫出帶電粒子運(yùn)動的軌跡．
（2）由上問知粒子在第Ⅰ象限的電場中運(yùn)動的時間t1=

2d

v0

…①，
在磁場中運(yùn)動的周期由：T=

2πm

qB

，
帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時間為：t2=

3T

4

=

3πm

2qB

=

3πd

v0

…②，
帶電粒子在第第 II象限的電場中運(yùn)動的時間：t3=

2d

v0

…③，
故帶電粒子經(jīng)過x軸正半軸時間的可能值為：t=n(t1+t2+t3)+t1=

n(3π+4)d

v0

+

2d

v0

（n=0、1、2、3…）…④．
帶電粒子經(jīng)過x軸負(fù)半軸時間的可能值為：t=n(t1+t2+t3)+t1+t2=

n(3π+4)d

v0

+

(2+3π)d

v0

（n=0、1、2、3…）…⑤．
答：
（1）粒子在磁場中運(yùn)動的半徑為2

2

d，軌跡如答圖所示．
（2）帶電粒子經(jīng)過x軸正半軸時間的可能值為t=n(t1+t2+t3)+t1=

n(3π+4)d

v0

+

2d

v0

（n=0、1、2、3…）．
帶電粒子經(jīng)過x軸負(fù)半軸時間的可能值為t=n(t1+t2+t3)+t1+t2=

n(3π+4)d

v0

+

(2+3π)d

v0

（n=0、1、2、3…）．

點(diǎn)評：本題中運(yùn)用運(yùn)動的分解法研究類平拋運(yùn)動，畫軌跡研究粒子在磁場中圓周運(yùn)動，是常用的方法，難點(diǎn)是根據(jù)周期性，得到粒子經(jīng)過x軸的時間，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力．