Question

如圖所示為過(guò)山車(chē)簡(jiǎn)易模型，它是由光滑水平軌道和豎直面內(nèi)的光滑圓軌道組成，Q點(diǎn) 為圓形軌道最低點(diǎn)，M點(diǎn)為最高點(diǎn)，圓形軌道半徑R=0.32m．水平軌道PN右側(cè)的水平 地面上，并排放置兩塊長(zhǎng)木板c、d，兩木板間相互接觸但不粘連，長(zhǎng)木板上表面與水平軌 道PN平齊，木板c質(zhì)量m₃=2.2kg，長(zhǎng)L=4m，木板d質(zhì)量m₄=4.4kg．質(zhì)量m₂=3.3kg 的小滑塊b放置在軌道QN上，另一質(zhì)量m₁=1.3kg的小滑塊a從P點(diǎn)以水平速度v₀向 右運(yùn)動(dòng)，沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)一周后進(jìn)入水平軌道與小滑塊b發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短且碰 撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失．碰后a沿原路返回到M點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道壓力恰好為0．已知小滑 塊b與兩塊長(zhǎng)木板間動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ₀=0.16，重力加速度g=10m/s²．
（1）求小滑塊a與小滑塊b碰撞后，a和b的速度大小v₁和v₂；
（2）若碰后滑塊b在木板c、d上滑動(dòng)時(shí)，木板c、d均靜止不動(dòng)，c、d與地面間的動(dòng)摩擦因 數(shù)μ至少多大？（木板c、d與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦 力）
（3）若不計(jì)木板c，d與地面間的摩擦，碰后滑塊b最終恰好沒(méi)有離開(kāi)木板d，求滑塊b在 木板c上滑行的時(shí)間及木板d的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）a恰好通過(guò)M對(duì)軌道沒(méi)有壓力，重力提供a做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律可以求出a的速度，a與b碰撞過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，a碰后返回到圓軌道最高點(diǎn)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，由動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出碰后a、b的速度．
（2）當(dāng)b與c上表面的滑動(dòng)摩擦力小于等于c、d與地面間的摩擦力時(shí)，c、d不動(dòng)．
（3）b做勻減速運(yùn)動(dòng)，c、d做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求出b的滑行時(shí)間與木板長(zhǎng)度．

解答：解：（1）小滑塊a在M點(diǎn)，由牛頓第二定律得：m₁g=

m1 v 2 M

R

，
小滑塊a從碰后到到達(dá)M的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

m₁v₁²=

1

2

m₁v_M²+m₁g?2R，解得：v₁=4m/s，
兩滑塊碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，以向右為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：m₁v₀=-m₁v₁+m₂v₂，
碰撞過(guò)程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²，
解得：v₀=9.2m/s，v₂=5.2m/s；
（2）若b在d上滑動(dòng)時(shí)d能靜止，則b在c上滑動(dòng)時(shí)，c與d一定能靜止，
μ（m₂+m₄）g＞μ₀m₂g，解得μ＞0.069；
（3）小滑塊b滑上長(zhǎng)木板c時(shí)的加速度大小a₁=μ₀g=1.6m/s²，
此時(shí)兩塊長(zhǎng)木板的加速度大小a₂=

μ0m2g

m3+m4

=0.8m/s²，
小滑塊b在c上滑行過(guò)程中，b的位移：x₁=v₂t-

1

2

a₁t²，
兩塊長(zhǎng)木板的位移x₂=

1

2

a₂t²，x₁-x₂=L，
解得：t=1s，t=

10

3

s不合題意，舍去；
b剛離開(kāi)長(zhǎng)木板c時(shí)，b的速度v₂′=v₂-a₁t=3.6m/s，
b剛離開(kāi)長(zhǎng)木板c時(shí)，d的速度v₃=a₂t=0.8m/s，
設(shè)d的長(zhǎng)度至少為x，由動(dòng)量守恒定律可得：
m₂v₂′+m₄v₃=（m₂+m₄）v，解得v=2m/s，
由能量守恒定律得：μ₀m₂gx=

1

2

m₂v₂′²+

1

2

m₄v₃²-

1

2

（m₂+m₄）v²，
解得：x=1.4m．
答：（1）小滑塊a與小滑塊b碰撞后，a和b的速度大小v₁=4m/s，v₂=5.2m/s；
（2）c、d與地面間的動(dòng)摩擦因 數(shù)μ至少為0.069；
（3）滑塊b在木板c上滑行的時(shí)間為1s，木板d的長(zhǎng)度為1.4m．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到四個(gè)物體，多個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，屬于多體多過(guò)程問(wèn)題，難度較大，是一道難題；分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵．