Question

9．如圖甲所示，電動(dòng)機(jī)通過繞過光滑定滑輪的細(xì)繩與放在傾角為30^°的光滑斜面上的物體相連，啟動(dòng)電動(dòng)機(jī)后物體沿斜面上升；在0～3s時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖乙所示，其中除1～2s時(shí)間段圖象為曲線外，其余時(shí)間段圖象均為直線，1s后電動(dòng)機(jī)的輸出功率保持不變；已知物體的質(zhì)量為2kg，重力加速度g=10m/s²．求

（1）1s后電動(dòng)機(jī)的輸出功率P
（2）物體運(yùn)動(dòng)的最大速度v_m
（3）在0-3s內(nèi)電動(dòng)機(jī)所做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度時(shí)間圖線得出0-1s內(nèi)的加速度，結(jié)合牛頓第二定律求出牽引力的大小，根據(jù)P=Fv求出1s后電動(dòng)機(jī)的輸出功率．
（2）當(dāng)物體的加速度為零時(shí)，速度最大，根據(jù)平衡求出拉力，結(jié)合P=Fv求出最大速度．
（3）0-1s內(nèi)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理求出電動(dòng)機(jī)做功的大小，1s后抓住功率不變，結(jié)合W=Pt求出電動(dòng)機(jī)做功的大小，從而得出在0-3s內(nèi)電動(dòng)機(jī)所做的功．

解答 解：（1）設(shè)物體的質(zhì)量為m，在時(shí)間t₁=1s內(nèi)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，1s末物體的速度大小達(dá)到v₁，此過程中，細(xì)線拉力的大小為F₁，
則根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律可得：v₁=at₁
F₁-mgsin30°=ma，
其中由圖象可知v₁=5m/s，
在1s末設(shè)電動(dòng)機(jī)的輸出功率為P，由功率公式可得：P=F₁v₁
聯(lián)立解得：P=100W
（2）當(dāng)物體達(dá)到最大速度v_m后，設(shè)細(xì)繩的拉力大小F₂，由牛頓第二定律和功率的公式可得：F₂-mgsin30°=0，
P=F₂v_m，
聯(lián)立解得：v_m=10m/s
（3）在時(shí)間t₁=1s內(nèi)，物體的位移為x，電動(dòng)機(jī)做的功為W₁，則由運(yùn)動(dòng)公式及動(dòng)能定理：
$x=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
${W}_{1}-mgxsin30°=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
設(shè)在時(shí)間t=3s內(nèi)電動(dòng)機(jī)做的功為W，則：
W=W₁+P（t-t₁），
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：W=250J．
答：（1）1s后電動(dòng)機(jī)的輸出功率P為100W；
（2）物體運(yùn)動(dòng)的最大速度為10m/s；
（3）在0-3s內(nèi)電動(dòng)機(jī)所做的功為250J．

點(diǎn)評(píng) 本題與汽車起動(dòng)類似，關(guān)鍵要分析清楚物體各段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及力的變化情況，明確實(shí)際功率達(dá)到額定功率時(shí)勻加速運(yùn)動(dòng)結(jié)束，合力為零變加速運(yùn)動(dòng)結(jié)束．