Question

3．如圖，空間內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在虛線MN的右側(cè)有垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小顆粒自A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，剛好沿直線運(yùn)動(dòng)至光滑絕緣的水平面C點(diǎn)，與水平面碰撞的瞬間小顆粒的豎直分速度立即減為零，而水平分速度不變，小顆粒運(yùn)動(dòng)至D處剛好離開水平面，然后沿圖示曲線DP軌跡運(yùn)動(dòng)，AC與水平面夾角α=30°，重力加速度為g，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E；
（2）AD之間的水平距離d；
（3）已知小顆粒在軌跡DP上某處的最大速度為v_m，該處軌跡的曲率半徑是距水平面高度的k倍，則該處的高度為多大？

Answer 1

分析 （1）小球從A運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，受到重力和電場(chǎng)力，兩者的合力沿AC方向，作出力的合成圖求出E．
（2）小球從A運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，受到重力、水平面的支持力、豎直向上的洛倫茲力和水平向右的電場(chǎng)力，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)洛倫茲力等于重力時(shí)，小球剛好離開水平面．由此條件求出小球滑到D點(diǎn)的速度，由動(dòng)能定理求出d．
（3）小球離開D點(diǎn)后，受到重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力三個(gè)力作用．當(dāng)洛倫茲力與重力和電場(chǎng)力的合力共線時(shí)，速度最大．根據(jù)牛頓第二定律求出軌跡的曲率半徑，再求出高度．

解答 解：（1）小球受力如圖所示，有：
qE=mgcotα
解得：E=$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$
（2）設(shè)小球在D點(diǎn)速度為v_D，小球在D點(diǎn)離開水平面的條件是：qv_DB=mg   
得到：v_D=$\frac{mg}{qB}$
由于小球與水平面碰撞的瞬間小顆粒的豎直分速度立即減為零，而水平分速度不變． 根據(jù)動(dòng)能定理，得：
qEd=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
得：d=$\frac{\sqrt{3}{m}^{2}g}{6{q}^{2}{B}^{2}}$
（3）當(dāng)速度方向與電場(chǎng)力和重力合力方向垂直時(shí)，即當(dāng)洛倫茲力與重力和電場(chǎng)力的合力共線時(shí)，速度最大．
則：qv_mB-$\frac{mg}{sin30°}$=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
又R=kh
解得：h=$\frac{R}{k}$=$\frac{m{v}_{m}^{2}}{k（qb{v}_{m}-2mg）}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$；
（2）AD之間的水平距離d為$\frac{\sqrt{3}{m}^{2}g}{6{q}^{2}{B}^{2}}$；
（3）已知小顆粒在軌跡DP上某處的最大速度為v_m，該處軌跡的曲率半徑是距水平面高度的k倍，則該處的高度為$\frac{m{v}_{m}^{2}}{k（qb{v}_{m}-2mg）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況分析受力情況、以及根據(jù)受力情況分析運(yùn)動(dòng)情況的能力．第（3）問(wèn)中速度最大位置可以與單擺平衡位置進(jìn)行類比，更容易理解．