Question

【題目】如圖所示，圓心角θ=60°的圓弧軌道JK與半圓弧軌道GH都固定在豎直平面內，在兩者之間的光滑地面上放置質量為M的木板，木板上表面與H、K兩點相切，木板右端與K端接觸，左端與H點相距L，木板長度d=6.5R。兩圓弧軌道均光滑，半徑為R。現(xiàn)在相對于J點高度為3R的P點水平向右拋出一可視為質點的質量為m的木塊，木塊恰好從J點沿切線進入圓弧軌道，然后滑上木板，木塊與 木板間的動摩擦因數(shù)；當木板接觸H點時即被黏住，木塊恰好能運動到半圓弧軌道GH的中點。已知M=2m，重力加速度為g。

（1）求木塊在P點拋出的初速度大小以及運動到K時對K點的壓力；

（2）求L的大小（結果用字母m、g、R表示）

Answer 1

【答案】(1) ； (2)

【解析】試題分析：物塊從P到J做平拋運動，根據(jù)下落的高度求出平拋運動的時間，由vy=gt求出滑塊到達J點的豎直分速度，由分速度關系求平拋的初速度；P到K根據(jù)機械能守恒定律可以求出滑塊到達K點的速度，然后應用牛頓第二定律求出支持力；物塊從滑上滑板后開始做勻減速運動，此時滑板開始做勻加速直線運動，當物塊與滑板達到共同速度時，二者開始做勻速運動．根據(jù)動量守恒定律求出共同速度，再由能量守恒定律求L。

（1）設木塊在P點的初速度為v1，從P點到J點做平拋運動

豎直方向有：

豎直方向的速度為：

因為木塊在J點與圓弧相切，故

聯(lián)立解得：

（2）設木塊滑到K點的速度為，從P點到K點根據(jù)機械能守恒定律有

解得：

根據(jù)牛頓第二定律可得：

解得：

根據(jù)牛頓第三定律可得木塊運動到K時，對K點的壓力為10mg，方向豎直向下

（2）木塊從K點滑上木板后開始做勻減速運動，此時木板開始做勻加速直線運動，假設木塊與木板能達到共同速度，則此后二者開始做勻速運動，規(guī)定的方向為正方向，

根據(jù)動量守恒定律可得：

解得：

對木塊根據(jù)動能定理有：

對木板根據(jù)動能定理有：

解得，

木塊相對木板的位移：

即木板與木塊到達相同速度時，木塊未離開木板

設木塊運動到H點時速度大小為，根據(jù)動能定理可得

解得：

說明兩者還未達到共速，木板的左端即與H點粘連，木塊從K點到H點一直受到摩擦阻力作用，則由動能定理可得

解得：L=0.5R。