Question

傾角為θ的斜面上只有AB段粗糙，動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=2tanθ，其余部分光滑，AB段長(zhǎng)為2L，有N個(gè)相同的小木塊（每個(gè)小木塊視為質(zhì)點(diǎn)）沿斜面靠在一起，但不粘接，總長(zhǎng)為L(zhǎng)，每一個(gè)小木塊的質(zhì)量均為m，將它們由靜止釋放，釋放時(shí)下端距A為2L，求：
（1）從第1個(gè)木塊到第N個(gè)木塊通過A點(diǎn)的過程中，第k個(gè)木塊的最大速度？
（2）木塊在斜面上滑動(dòng)的過程中，第k-1個(gè)木塊和第k+1個(gè)木塊對(duì)第k個(gè)木塊做的總功？
（3）第k個(gè)木塊通過B點(diǎn)的速度？（題中1＜k＜N）

Answer 1

分析：（1）令有n個(gè)木塊過A點(diǎn)速度最大v_m，則μnmgcosθ=Nmgsinθ，求出n與N的關(guān)系，根據(jù)動(dòng)能定理即可求解最大速度；
（2）全部木塊剛過A點(diǎn)時(shí)速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理即可求得v，而木塊在斜面上滑動(dòng)時(shí)，只有在通過A點(diǎn)的過程中才可能有相互作用力，設(shè)所求功為W．對(duì)從開始到所有木塊剛通過A點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理即可求得W；
（3）從所有木塊剛過A點(diǎn)到第k個(gè)木塊剛到B點(diǎn)，對(duì)第k個(gè)木塊運(yùn)用動(dòng)能定理即可求解．

解答：解：木塊過A點(diǎn)的位移為x時(shí)，摩擦力為f=μ

N

L

xmgcosθ，故摩擦力正比于位移，可由平均力求摩擦力做功．
（1）令有n個(gè)木塊過A點(diǎn)速度最大v_m，則μnmgcosθ=Nmgsinθ
解得  n=

N

2

，即一半木塊過A點(diǎn)速度最大，
又  

1

2

Nmv2=Nmg?

5

2

Lsinθ-

1

2

?

1

2

μN(yùn)mgcosθ?

L

2

 
可解  v_m=

4.5Lgsinθ

（2）全部木塊剛過A點(diǎn)時(shí)速度為v，則
Nmgsinθ?L-

1

2

μN(yùn)mgcosθL=

1

2

Nmv2-0
解得v=

4Lgsinθ

 
而木塊在斜面上滑動(dòng)時(shí)，只有在通過A點(diǎn)的過程中才可能有相互作用力，設(shè)所求功為W．對(duì)從開始到所有木塊剛通過A點(diǎn)的過程，對(duì)第k個(gè)木塊有
mg?3Lsinθ-μmgcosθ（N-K）

L

N

+W=

1

2

mv2-0
解得 W=

N-2K

N

mgLsinθ     
（3）從所有木塊剛過A點(diǎn)到第k個(gè)木塊剛到B點(diǎn)，對(duì)第k個(gè)木塊有

1

2

mvB2-

1

2

mv2=(mgsinθ-μmgcosθ)(k

L

N

+L)
代入v=

4Lgsinθ

 可解
vB=

2(N-k) N Lsinθ

答：（1）從第1個(gè)木塊到第N個(gè)木塊通過A點(diǎn)的過程中，第k個(gè)木塊的最大速度為

4.5Lgsinθ

；
（2）木塊在斜面上滑動(dòng)的過程中，第k-1個(gè)木塊和第k+1個(gè)木塊對(duì)第k個(gè)木塊做的總功為

N-2K

N

mgLsinθ；
（3）第k個(gè)木塊通過B點(diǎn)的速度為

2(N-k) N Lsinθ

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能選取合適的過程運(yùn)用動(dòng)能定理求解，難度適中．