Question

6．如圖所示，物體的質(zhì)量為5kg，兩根輕質(zhì)細(xì)繩AB和AC的一端連接于豎直墻上的B、C兩點(diǎn)，另一端系于物體上A點(diǎn)，（已知$\sqrt{6}$=2.449、$\sqrt{2}$=1.414、$\sqrt{3}$=1.732，g=10m/s²），求：
（1）若在物體上施加一外力F，使AB、AC伸直，則F的最小值為多大？
（2）若在物體上施加一個方向與水平成θ=45°的拉力F，要使AB、AC繩都能伸直，求拉力F的大小范圍？（結(jié)果均保留三位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）由圖可知，若兩繩均伸直，則AB拉力可以提供向上的效果，而AC只能提供向下拉的效果，故當(dāng)AC伸直但沒有拉力時，此時有最小值，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求得最小值；
（2）對小球分析，明確AB和BC分別處于伸直但沒有彈力的狀態(tài)下為臨界條件，分別作出平行四邊形，由幾何關(guān)系進(jìn)行分析求解．

解答 解：（1）當(dāng)AC恰好伸直但沒有拉力時，此時A受重力、AB的拉力以及外力F，如圖所示，當(dāng)拉力方向與AB垂直時，拉力最小，最小值為：F'=mgcos30°=50×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=25$\sqrt{3}$N；
（2）作出物體A受力如圖1所示，由平衡條件
F_y=Fsin45°+F₁sinθ-mg-F₂sin30°=0…①
F_x=Fcos45°-F₂cos30°-F₁cos30°=0…②
由當(dāng)F較小時，繩AC中F₂=0，即F和F₁ 的合力與重力mg平衡，由圖2所示；
由幾何關(guān)系解得：F_min=44.8N
當(dāng)F較大時，繩AB中張力F₁=0，F(xiàn)和F₂ 的合力與重力mg平衡，如圖4所示，
由幾何關(guān)系解得：F_max=167N
故拉力F的范圍為；44.8N-167N．
答：（1）若在物體上施加一外力F，使AB、AC伸直，則F的最小值為25$\sqrt{3}$N；
（2）拉力F的大小范圍為44.8N-167N．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是對小球受力分析，列平衡方程，然后找出最大和最小兩種臨界情況討論，本題的難度較大，要求學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，注意在求解拉力的范圍時用到的幾何關(guān)系為正弦定理，注意圖3中重力所對夾角為105°，而圖4中重力所對夾角為15°；sin105°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．正弦定理為：$\frac{a}{sinα}=\frac{sinβ}=\frac{c}{sinγ}$．