Question

6．設(shè)地球是一個(gè)密度均勻的球體，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，如果沿地球的直徑挖一條隧道，將物體從此隧道一端以某一初速度v₀釋放，（如圖所示），不考慮阻力，在此后過(guò)程中關(guān)于物體的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)
• B． 物體先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)
• C． 物體先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)
• D． 物體先做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，深度為d位置的加速度相當(dāng)于半徑為R-d的球體在其產(chǎn)生的加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達(dá)式，再根據(jù)半徑關(guān)系分析加速度的變化求解即可．

解答 解：如果物體在距地心為r處（r≤R），那么這個(gè)物體只會(huì)受到以地心為球心、以r為半徑的那部分球體的萬(wàn)有引力，
而距地心為r到R之間的物質(zhì)對(duì)物體作用力的合力為零．物體掉入隧道之后，不是做自由落體運(yùn)動(dòng)．
設(shè)物體的質(zhì)量為m，地球密度為ρ，以半徑為r的那部分球體的質(zhì)量為M，距地心r處的重力加速度為g，
則M=$\frac{4}{3}$πr³ρ，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mg，得
g=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$\frac{4}{3}$πρGr． ①
由于物體掉入隧道之后，r在變化，由①式可知g也在變化，且離地心越近g越小，在地心處g=0．所以物體不是做自由落體運(yùn)動(dòng)．
考慮到方向，有g(shù)=-$\frac{4}{3}$πρGr，即物體的加速度g與位移r大小成正比、方向相反，所以物體在隧道中的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，即先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵要運(yùn)用萬(wàn)有引力等于重力表示出隧道內(nèi)的重力加速度的變化情況去分析運(yùn)動(dòng)情況．