Question

如圖所示，一個質(zhì)量為m的小球由兩根細(xì)繩拴在豎直轉(zhuǎn)軸上的A、B兩處，AB間距為L，A處繩長為

2

L，B處繩長為L，兩根繩能承受的最大拉力均為2mg，轉(zhuǎn)軸帶動小球轉(zhuǎn)動．則：
（1）當(dāng)B處繩子剛好被拉直時(shí)，小球的線速度v多大？
（2）為不拉斷細(xì)繩，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的最大角速度ω多大？
（3）若先剪斷B處繩子，讓轉(zhuǎn)軸帶動小球轉(zhuǎn)動，使繩子與轉(zhuǎn)軸的夾角從45°開始，直至小球能在最高位置作勻速圓周運(yùn)動，則在這一過程中，小球克服重力做的功是多少？

Answer 1

分析：（1）B處繩剛好被拉直時(shí)，繩與桿夾角θ=45°，B繩沒有拉力，A繩豎直方向的分量要與重力相抵消，水平分量提供向心力，根據(jù)向心力公式即可求解；
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角速度最大時(shí)，B繩拉力為T_B=2mg，A繩拉力不變，根據(jù)向心力公式即可求解；
（3）剪斷B處繩子后，小球只在A繩作用下做圓周運(yùn)動，當(dāng)A繩力達(dá)到2mg時(shí)，小球能在最高位置作勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)幾何關(guān)系及重力做功的公式即可求解．

解答：解：（1）B處繩被拉直時(shí)，繩與桿夾角θ=45°，T_Acosθ=mg，TAsinθ=m

v2

L

    
∴v=

gL

（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角速度最大時(shí)，B繩拉力為T_B=2mg，A繩拉力不變，
T_Acosθ=mg，TAsinθ+TB=mω2L 
∴ω=

3g L

（3）剪斷B處繩子后，小球只在A繩作用下做圓周運(yùn)動，當(dāng)A繩力達(dá)到2mg時(shí)，小球能在最高位置作勻速圓周運(yùn)動，
則有：T_Acosθ=mg
解得：θ=60°
即繩子的夾角由45°變成了60°
小球上升的高度為h=

2

Lcos45°-

2

Lcos60°=（1-

2

2

）L
所以W_克=-W_G=mgL(1-

2

2

)
答：（1）當(dāng)B處繩子剛好被拉直時(shí)，小球的線速度v為

gL

；
（2）為不拉斷細(xì)繩，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的最大角速度ω為

3g L

；
（3）在這一過程中，小球克服重力做的功是mgL(1-

2

2

)．

點(diǎn)評：該題要注意A繩的豎直方向的分量要與重力相抵消，A、B繩的水平分量之和提供向心力．