Question

（2011?雙流縣模擬）如圖1所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，極板長(zhǎng)度和板間距均為l，第一、四象限有磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子．在0～3t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖2所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響）．已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）求：
（1）兩板間的電壓U₀．
（2）0～3t₀時(shí)間內(nèi)射入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間t．
（3）

1

2

t₀時(shí)刻射入兩板間的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先求出電容器加有電壓時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度，從而求出有電場(chǎng)時(shí)的加速度，把粒子的運(yùn)動(dòng)在豎直方向上分為兩段，先是勻加速運(yùn)動(dòng)，后是勻速運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上，這兩段位移的和大小上等于板間距離的一半．列式即可求出電壓．
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，即為進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸的夾角最小的情況，當(dāng)在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度最大時(shí)，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，畫(huà)出離子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何知識(shí)即可求出最短時(shí)間．
（3），

1

2

t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前

1

2

t₀時(shí)間在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，后

1

2

t₀時(shí)間兩極板沒(méi)有電場(chǎng)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)離開(kāi)電場(chǎng)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出y方向分速度與x方向分速度，再合成求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，則牛頓定律求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，進(jìn)而求出離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)．

解答：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負(fù)方向偏移的距離為

1

2

l，則有：
E=

U0

l

…①
Eq=ma…  ②

1

2

l=

1

2

at02…③
聯(lián)立解得兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為：U0=

ml2

qt02

              
（2）2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．
帶電粒帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)沿y軸正方向的分速度為：v_y=at₀
設(shè)粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為α，則：tanα=

v0

vy

解得：α=

π

4

所以圓心角為：2α=

π

2

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：qbv=m

v2

R

周期：T=

2πR

v

聯(lián)立求得最短時(shí)間為：t=

T

4

=

πm

2qB

（3）如上所述，

1

2

t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前

1

2

t₀時(shí)間在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，后

1

2

t₀時(shí)間兩極板沒(méi)有電場(chǎng)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)離開(kāi)電場(chǎng)．
由③式

1

2

a

t

2 0

=

1

2

l，則在前

1

2

t₀時(shí)間沿y軸方向的位移：

y

1

=

1

8

l
之后

1

2

t₀時(shí)間沿y軸方向的位移：

y

2

=2y1=

1

4

l
故帶電粒子與y軸相交的坐標(biāo)為：y=-(

y

2

+y1)=-

3

8

l，即帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為：(0，-

3l

8

)設(shè)
帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸負(fù)方向的夾角為β，則：tanβ=

v0

vy

=

l t0

1 2 at0

=2
此后受到洛倫茲力向上偏轉(zhuǎn)，利用幾何關(guān)系可以求得帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置相距：△y=2Rsinβ=

4

5

R
又 帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度大小為：vy=a?

1

2

t0
帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度大小為：v=

vx2+vy2

                 
設(shè)帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則有：Bqv=m

v2

R

由以上各式解得：R=

5 ml

2qBt0

；                                     
 子沿x軸方向的分速度大小為：v0=

l

t0

          
故：△y=

4

5

R=

2ml

qBt0

，
因此帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置在y軸的坐標(biāo)：
Y=△y+y=

2ml

qBt0

-

3l

8

，
即帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為：（0，

2ml

Bqt0

-

3l

8

）
答：（1）兩板間的電壓U₀為

ml2

qt02

．
（2）0～3t₀時(shí)間內(nèi)射入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為

πm

2qB

．
（3）

1

2

t₀時(shí)刻射入兩板間的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（0，

2ml

Bqt0

-

3l

8

）．

點(diǎn)評(píng)：該題考查到的知識(shí)點(diǎn)較多，首先是考察到了離子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，并且電場(chǎng)還是變化的，這就要求我們要有較強(qiáng)的過(guò)程分析能力，對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分段處理；還考察到了離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，要熟練的會(huì)用半徑公式和周期公式解決問(wèn)題；在解決粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題時(shí)，要注意偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系，熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決問(wèn)題．是一道難度較大的題．