Question

12．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)的一、二象限內(nèi)存在有界勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場．電場方向與y軸正向相同、范圍在0≤y≤d內(nèi)；磁場方向垂直于xOy平面向里．范圍在d＜y≤2d內(nèi)．位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的粒子放射源向各個(gè)方向射出質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電粒子．粒子的速度大小均為v₀．粒子離開電場上邊緣y=d時(shí)，能夠到達(dá)的最右側(cè)的位置為（1.5d，d）．最終恰沒有粒子離開磁場的上邊界．不粒子重力以及粒子間相互作用，求：（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）電場強(qiáng)度E；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）進(jìn)入電場的粒子，初速度分解為垂直電場線和平行于電場線，沿電場線方向勻加速直線運(yùn)動，垂直電場線方向勻速直線運(yùn)動，當(dāng)初速度垂直電場線的粒子，運(yùn)動時(shí)間最長，到達(dá)電場最右側(cè)
（2）進(jìn)入磁場的帶電粒子與邊界的夾角不同，根據(jù)動能定理知速度大小相等，但方向不同，沿y軸方向進(jìn)入磁場的粒子軌跡是半個(gè)圓周，垂直電場線進(jìn)入電場再進(jìn)入磁場的粒子，軌跡圓弧所對的圓心角最大，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，即可求出速度．
（3）求出軌跡圓弧所對的圓心角，根據(jù)$t=\frac{θ}{2π}T$，求出時(shí)間．

解答 解：（1）垂直電場線方向的粒子，能到達(dá)電場的最右側(cè)，沿電場方向的初速度為0，在電場中運(yùn)動時(shí)間最長，水平位移最大，在電場中做類平拋運(yùn)動
水平方向$1.5d={v}_{0}^{\;}t$①
豎直方向$d=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}②$
粒子加速度$a=\frac{qE}{m}$③
解得：$E=\frac{8m{v}_{0}^{2}}{9qd}$
（2）粒子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，進(jìn)入磁場的所有帶電粒子，速度設(shè)為v，根據(jù)動能定理定理，有
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得$v=\frac{5{v}_{0}^{\;}}{3}$
速度大小相等，方向不同
做類平拋運(yùn)動的帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)軌跡圓弧最長，設(shè)進(jìn)入磁場時(shí)速度與水平方向的夾角為θ，$cosθ=\frac{{v}_{0}^{\;}}{v}=\frac{3}{5}$，θ=53°，軌跡和磁場上邊界相切
根據(jù)幾何關(guān)系R+Rsin37°=d
解得$R=\frac{5d}{8}$
根據(jù)牛頓第二定律，有$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$R=\frac{mv}{qB}=\frac{5m{v}_{0}^{\;}}{3qB}$
聯(lián)立得$B=\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{3qd}$
（3）粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間$t=\frac{360°-53°×2}{360°}T=\frac{127}{180}×\frac{2πm}{qB}$
將（2）的結(jié)果代入$t=\frac{127πd}{240{v}_{0}^{\;}}$
答：（1）電場強(qiáng)度E為$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{9qd}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{3qd}$；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間$\frac{127πd}{240{v}_{0}^{\;}}$．

點(diǎn)評 本題考查了粒子在磁場中的運(yùn)動問題，分析清楚粒子的運(yùn)動過程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律即可正確解題．